高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂达标检测题

第三章　3.3　3.3.1

A级——基础过关练

1．(2021年沈阳月考)抛物线x2＝16y的准线方程为(　　)

A．y＝－4 B．y＝－8

C．x＝－4 D．x＝－8

【答案】A

【解析】由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝－4．

2．(2021年大连月考)点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)

A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2

C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2

【答案】D

【解析】分两类a＞0，a＜0可得y＝x2，y＝－x2．

3．已知抛物线的方程为x＝y2，则该抛物线的准线方程是(　　)

A．x＝－6 B．x＝－9

C．y＝－9 D．y＝－6

【答案】B

【解析】x＝y2，焦点在x轴上，且＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9．

4．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为(　　)

A． B．

C． D．4

【答案】C

【解析】根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝．

5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．4

【答案】C

【解析】抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2．

6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

【答案】D

【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2,0)，所以点E(－2,0)，则＝tan60°，即|AE|＝4，所以点P的坐标为(6，4)，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8．

7．(多选)(2021年濮阳段考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，＝3，则直线l的斜率可以为(　　)

A． B．－

C． D．－

【答案】AB

【解析】如图，过点P作抛物线C：y2＝2px准线的垂线，垂足为P1，设＝t，则＝3t，＝4t，由抛物线的定义可得＝＝t．在Rt△PP1Q中，cos∠QPP1＝＝＝，所以sin∠QPP1＝＝，所以tan∠QPP1＝，所以直线l的斜率可以为或－．故选AB．

8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，|PA|＋d的最小值为________．

【答案】－1

【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1．由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝－1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值－1．

9．已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，点P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________．

【答案】3－2

【解析】抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0，2)．所以a2＝22－12＝3，故双曲线的方程为－x2＝1．设P(x，y)，因为点P在x轴上方，故由双曲线的性质可得y≥．＝(x，y)，＝(x，y－2)，·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y＝＋y2－2y－1＝y2－2y－1＝－1＝2－．因为y＝＜，故函数t＝2－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2．所以·的最小值为3－2．

10．如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．

解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，其准线l的方程为y＝－．

因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，

所以圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，解得p＝2．

故抛物线C的方程为x2＝4y．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由题意得F(0,1)，

所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)．因为＝2，

所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，

即代入②得4x＝8y1＋4，

即x＝2y1＋1．又因为x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，解得y1＝，x1＝±，

故点A的坐标为或．

B级——能力提升练

11．(多选)已知抛物线y2＝10x，则下列对于该抛物线的说法中正确的是(　　)

A．焦点在y轴上

B．准线方程为x＝－

C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可以为(2,1)

【答案】BD

【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，准线方程为x＝－，A错误，B正确；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，C错误；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，D正确．故选BD．

12．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A． B．－

C．± D．－

【答案】B

【解析】将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A．由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－．

13．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．

【答案】y2＝16x

【解析】因为椭圆的方程为＋＝1，所以右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x．

14．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为________；若行车道总宽度AB为7米，则通过隧道的车辆限制高度为________米．(精确到0.1米)

【答案】x2＝－5y　4.0

【解析】如图，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y．设车辆高为h，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．

15．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上两点A，B，且AB⊥y轴，OA⊥OB，其中O为坐标原点，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．

解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn．

AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，

则直线OA的斜率为1，即m＝n．

由△AOB的面积为16，得·2m·n＝16，

解得m＝n＝4，所以p＝2．

所以抛物线C的方程为x2＝4y．