高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线当堂检测题

这是一份高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线当堂检测题，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.3.4　抛物线专项训练一、单选题(共8小题)1．已知抛物线x2＝y，则它的准线方程为(　　)A．x＝－2 B．x＝2C．y＝－ D．y＝【答案】C【解析】因为抛物线x2＝y，所以2p＝，＝，它的准线方程为y＝－．2．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　)A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】由题意知F，那么点M在抛物线上，即16＝2p，即p2－8p＋16＝0，解得p＝4．3．抛物线x2＝y上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A． B．C．0 D．【答案】B【解析】抛物线x2＝y的准线方程为y＝－，设点M的纵坐标是y，∵抛物线上一点M到焦点的距离为1，∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1，∴y＋＝1，∴y＝，∴点M的纵坐标是．故选B．4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝4x B．y2＝8xC．y2＝±4x D．y2＝±8x【答案】D【解析】y2＝ax的焦点是F，直线l的方程为y＝2，令x＝0得y＝－，A，所以由△OAF的面积为4，得··＝4，a2＝64，a＝±8．故选D．5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若＝4，则|QF|＝(　　)A． B．C．3 D．2【答案】C【解析】如图所示，过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又因为焦点F到准线l的距离为4，所以|QQ′|∶4＝3∶4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．6．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与x轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)A．y2＝x B．y2＝3xC．y2＝x D．y2＝9x【答案】B【解析】由抛物线定义，|BF|等于点B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠BCM＝30°，又因为|AF|＝3，从而A，又因为点A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝，故抛物线方程为y2＝3x．故选B．7．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知AB＝4，DE＝2，则抛物线C的焦点到准线的距离为(　　)A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】不妨设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，令点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性，得点A的纵坐标为2，代入抛物线C的方程得x＝，即点A．易知点D，因为点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以＋8＝＋5，解得p＝4或p＝－4(舍去)，则抛物线C的焦点到准线的距离为4．故选B．8．已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(　　)A．1 B．C．2 D．1＋【答案】A【解析】如图所示，设此抛物线的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|＝|PF|，P到y轴的距离|PM|－1＝|PF|－1，设Q(0，)，则点P到点的距离与点P到y轴的距离之和为|PQ|＋|PF|－1，因此当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值．∴(|PF|＋|PQ|)min＝|QF|＝＝2，即|PM|＋|PQ|的最小值为2，所以点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为|QF|－1＝1．故选A．二、多选题(共2小题)9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则以下结论正确的是(　　)A．p＝2 B．F为AD中点C．BD＝2BF D．BF＝2【答案】ABC【解析】因为直线l的斜率为，且AF＝4，所以点A的纵坐标为2，横坐标为2＋，所以2＝2p，因为p＞0，解得p＝2，故A正确；因为F(1,0)，所以直线l：y＝x－，令x＝－1，所以y＝－2，则D，又因为A，则AD的中点为(1,0)，即为F(1,0)，故B正确；解得或即A，B，则BD＝＝，BF＝＋1＝，因此BD＝2BF，故C正确，D错误．故选ABC．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则下列结论正确的是(　　)A．准线方程为x＝－3 B．焦点F的坐标为C．点P的坐标为 D．PF的长为3【答案】BC【解析】∵抛物线方程为y2＝6x，∴焦点坐标F，准线方程为x＝－，A错误，B正确；∵直线AF的斜率为－，∴直线AF的方程为y＝－，当x＝－时，y＝3，∴A，∵PA⊥l，A为垂足，∴点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，C正确；根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝－＝6，D错误．故选BC．三、填空题(共4小题)11．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则实数m的值为________．【答案】±4【解析】由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，由点P到焦点的距离为4，得＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y．将点P(m，－2)代入x2＝－8y，得m＝±4．12．若P(4,1)为抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝________．【答案】5【解析】由P(4,1)为抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，得42＝2p×1，可得p＝8，则|PF|＝1＋＝5．13．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则P的值为________．【答案】4【解析】依题意，有F，设M，则有＋＝2×2,0＋y0＝2×2，所以p＝4．14．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为______________．【答案】y2＝x【解析】由题意知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(k＞0)，圆心C1(0,2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2(k＝－2舍去)．由可取A(0,0)，B，把代入抛物线方程，得2＝2p·，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x．四、解答题(共2小题)15．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且△OAF的面积为p2(O为坐标原点)．(1)求抛物线C的方程；(2)直线l：y＝kx＋1与抛物线C交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过O点，求直线l的方程．解：(1)由题意可得解得p＝2．故抛物线C的方程为y2＝4x．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0(*)．由直线l和抛物线交于M，N两点可知k≠0，且x1＋x2＝－，x1x2＝．依题意OM⊥ON，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝0，即(k2＋1)·＋k·＋1＝0，整理得＋＝0，解得k＝－．此时(*)式为x2－x＋1＝0，Δ＝－＞0，符合题意．故直线l的方程为y＝－x＋1．16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4,4)，其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M(5,0)．(1)求抛物线C的方程．(2)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积．(3)设点Q在抛物线C上，直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4,4)，所以16＝8p，即p＝2．所以抛物线C的方程为y2＝4x．(2)由(1)可知，F(1,0)，所以直线l的方程为y＝x－1，联立方程组可得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝8，点M(5,0)到直线y＝x－1的距离为＝2，所以△ABM的面积为×8×2＝8．(3)由题意可设N(t,2t＋6)，Q(x0，y0)，又因为四边形PQFN是平行四边形，则＝，所以(4－t，－2t－2)＝(x0－1，y0)，所以即Q(5－t，－2t－2)，将点Q(5－t，－2t－2)代入抛物线方程，可得(－2t－2)2＝4(5－t)，即t2＋3t－4＝0，解得t＝－4或1，所以Q(9,6)或(4，－4)，经检验，符合四边形PQFN是平行四边形．所以直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时Q(9,6)或(4，－4)．