数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时同步测试题

第四章　4.3　4.3.1　第2课时

A级——基础过关练

1．(多选)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列中，是等比数列的是(　　)

A．{a}

B．{pan}(p为非零常数)

C．{an·an＋1}

D．{an＋an＋1}

【答案】ABCD　【解析】A中，∵＝＝q2，∴{a}是等比数列；B中，

∵＝＝q，∴{pan}是等比数列；C中，∵＝＝q2，∴{an·an＋1}是等比数列；D中，∵＝＝q，

∴{an＋an＋1}是等比数列．

2．已知等比数列{an}中，公比q＝，a3a5a7＝64，则a4＝(　　)

A．1　　 B．2

C．4　 D．8

【答案】D　【解析】由a3a5a7＝a＝64，得a5＝4.又∵q＝，∴a4＝＝8.

3．(2022年广西模拟)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2　　 B．4

C．8　 D．16

【答案】A　【解析】由分数的性质得＋＋…＋＝＋＋…＋.∵a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，∴原式＝＝.又∵a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.

4．(2021年驻马店期末)若数列{an}满足－＝0(n∈N*)，则称{an}为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝(　　)

A．18　 B．16

C．32　 D．36

【答案】A　【解析】由－＝0，得an＝3an＋1，即“梦想数列”为公比为的等比数列．若数列为“梦想数列”，则＝·，即bn＋1＝3bn，即数列{bn}为公比为3的等比数列．若b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝9(b1＋b2＋b3)＝18.

5．正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D　【解析】因为正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，所以a4·a6＝6，a4＋a6＝5，解得a4＝3，a6＝2.所以＝＝.

6．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)

A．4　　 B．6

C．8　　 D．－9

【答案】A　【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2.∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4.

7．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，下列说法正确的有(　　)

①数列{3an＋an＋1}是等比数列；②数列{an＋1－an}是等差数列；③数列{anan＋1}是等比数列；④数列{log3|an|}是等差数列．

A．①② B．①③

C．②④ D．③④

【答案】D　【解析】等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，3an＋an＋1＝3[(－3)n－1]＋(－3)n＝[(－1)n－1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，故①错误；an＋1－an＝(－3)n－(－3)n－1＝·(－3)n，是等比数列，故②错误；anan＋1＝(－3)n－1·(－3)n＝(－3)2n－1，是等比数列，故③正确；log3|an|＝log3|(－3)n－1|＝n－1，是等差数列，故④正确．故选D．

8．在等比数列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，则a3＋a5＝________．

【答案】5　【解析】在等比数列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，即a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，解得a3＋a5＝5.

9．设等比数列{an}的各项均为正数且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________．

【答案】10　【解析】由题意可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，解得a5a6＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10.

10．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．

解：设这四个数为，a，aq，2aq－a，

则

由①，得a3＝216，a＝6③，

将②变形得3aq＝36，将③代入此式得q＝2，

所以这四个数为3，6，12，18.

B级——能力提升练

11．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则(　　)

A．a5＋a7＞a4＋a8

B．a5＋a7＜a4＋a8

C．a5＋a7＝a4＋a8

D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|

【答案】A　【解析】∵a6＜0，q＞0，∴a5，a7，a8，a4都是负数，∴a5＋a7－a4－a8＝a4(q－1)＋a7(1－q)＝(q－1)·(a4－a7)．若0＜q＜1，则q－1＜0，a4－a7＜0，则有a5＋a7－a4－a8＞0；若q＞1，则q－1＞0，a4－a7＞0，则有a5＋a7－a4－a8＞0，∴a5＋a7＞a4＋a8.

12．(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＋a5＝＋＝，则下列结论正确的是(　　)

A．a2a4＝1

B．a2＋a4＝

C．q＝2或

D．a1＝2或

【答案】ABD　【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a5＝＋＝，所以所以或即2×q4＝或×q4＝2，所以解得或所以选项C错误，选项D正确；因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a2a4＝a1a5＝1，选项A正确；a2＋a4＝a1q＋a1q3＝，选项B正确．故选ABD．

13．(2022年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________．

【答案】　【解析】由题意利用等比数列的性质知，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝25，又因为an＞0，所以a6＋a8＝5，所以a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时，取等号．

14．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则a5＝________，b10＝________．

【答案】4　64　【解析】因为an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，所以an，an＋1是方程f(x)＝x2－bnx＋2n的两个根，根据根与系数的关系，可得an·an＋1＝2n，an＋an＋1＝bn，由an·an＋1＝2n，可得an＋1·an＋2＝2n＋1，两式相除可得＝2，所以a1，a3，a5，…成公比为2的等比数列，a2，a4，a6，…成公比为2的等比数列．又因为由a1＝1，得a2＝2，所以a5＝1×22＝4，a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，所以b10＝a10＋a11＝32＋32＝64.

15．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?

解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－.

设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an，

∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列，

∴an＝a1qn－1＝，

即第n次操作后酒精的浓度是.

当a＝2时，由an＝<(n∈N*)，解得n≥4.

故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.