数学人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义同步测试题

第五章　5.1　5.1.1

A级——基础过关练

1．某质点的运动规律为s＝t2＋1，则在时间(2，2＋Δt)内，质点的位移增量等于(　　)

A．4Δt＋(Δt)2 B．4＋Δt＋

C．2Δt＋(Δt)2 D．2＋Δt

【答案】A　【解析】位移增量＝s(2＋Δt)－s(2)＝(2＋Δt)2＋1－(22＋1)＝4Δt＋(Δt)2.

2．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　　)

A．at0 B．－at0

C．at0 D．2at0

【答案】A

3．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若＝24.5m/s，则24.5m/s是该物体(　　)

A．从0s到1s这段时间的平均速度

B．从1s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度

C．在t＝1s这一时刻的瞬时速度

D．在t＝Δts这一时刻的瞬时速度

【答案】B　【解析】根据题＝24.5 m/s，可知有物体从t＝1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度为24.5 m/s.

4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s(米)与时间t(秒)的关系为s(t)＝5t＋2t2，则该物体在运行前2秒的平均速度为(　　)

A．18米/秒　 B．13米/秒

C．9米/秒　 D．米/秒

【答案】C　【解析】∵s(t)＝5t＋2t2，该物体在运行前2秒的平均速度为＝＝9(米/秒)．

5．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，那么在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度是(　　)

A．8＋2Δt B．4＋2Δt

C．7＋2Δt D．－8＋2Δt

【答案】A

6．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3

C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

【答案】A　【解析】∵k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.

7．(多选)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则(　　)

A．物体在t＝1s时的瞬时速度为0m/s

B．物体在t＝0s时的瞬时速度为1m/s

C．瞬时速度为9m/s的时刻是在t＝4s时

D．物体从0到1的平均速度为2m/s

【答案】BC　【解析】＝＝(3＋Δt)＝3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s，A错误；＝＝(1＋Δt)＝1，即物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s，B正确；设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，又＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1＝9，所以t0＝4，物体在t＝4 s时的瞬时速度为9 m/s，C正确；＝＝3(m/s)，D错误．故选BC．

8．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．

【答案】4　【解析】抛物线在点P处切线的斜率为k＝＝＝＝－5，因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故直线OP的斜率为－，根据题意有－＝－5，解得c＝4.

9．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为________，其在t＝________时的瞬时速度为1.

【答案】0　　【解析】平均速度为＝＝7t，当t趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，知v＝＝＝14t，所以当v＝1时，t＝.

10．在赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2.求当t＝20s，Δt＝0.1s时的Δs与.

解：Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05，

故＝＝210.5.

B级——能力提升练

11．一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后的距离s＝t3－t2－2t＋1，那么速度为零的时刻是(　　)

A．1秒末　　 B．2秒末

C．3秒末　　 D．4秒末

【答案】B　【解析】根据瞬时速度的定义，知v＝＝

＝t2－t－2.令v＝t2－t－2＝0，得t＝2或t＝－1(舍去)．

12．(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标为(　　)

A．(1，0) B．(1，1)

C．(－1，1) D．(0，1)

【答案】BC　【解析】设y＝f(x)＝x3－x＋1，

则f′(x)＝＝＝3x2－1，令3x2－1＝2，即x2＝1，解得x＝±1，又f(1)＝1，f(－1)＝1，所以P点坐标为(－1，1)或(1，1)．故选BC．

13．已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．

【答案】5　4.1　【解析】当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝＝5；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝＝4.1.

14．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速运动，位移公式可表示为s＝at2，如果枪弹的加速度a＝5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间t＝1.6×10－3s，那么枪弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.

【答案】800　【解析】位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴＝＝at0.已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s，∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

15．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx＞0)．

(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；

(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率．

解：(1)由题意得，割线AB的斜率为

＝

＝

＝＝－3－Δx，

由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.

又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．

(2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝＝(－3－Δx)＝－3.