高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第2课时课时练习

第五章　5.1　5.1.2　第2课时

A级——基础过关练

1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线(　　)

A．垂直于x轴

B．垂直于y轴

C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴

D．方向不能确定

【答案】B　【解析】由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．

2．(2022年河南实验中学月考)设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)

A．2 B．－1

C．1 D．－2

【答案】B　【解析】＝

＝f′(1)＝－1.

3．(2021年四川棠湖中学月考)曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)

A．1 B．

C． D．－

【答案】B

【解析】∵y′＝

＝＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角为.

4．曲线f(x)＝－在点A(1，－2)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4

C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4

【答案】C　【解析】＝＝，所以当Δx→0时，f′(x)＝2，故直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.

5．(2022年长春期末)曲线y＝2x－在x＝1处的切线的斜率为(　　)

A．－1 B．1

C．2 D．3

【答案】D　【解析】因为y′＝2＋，所以y′|x＝1＝2＋1＝3，所以切线的斜率为3.故选D．

6．(2022年南昌期末)若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋2y－4＝0垂直，则l的方程为(　　)

A．2x－y－1＝0 B．2x－y＝0

C．4x－y－4＝0 D．2x－y＋1＝0

【答案】A　【解析】方法一：直线x＋2y－4＝0，所以k＝－，所以切线l的k＝2.设切线l的方程为y＝2x＋b，联立方程所以x2－2x－b＝0，令Δ＝4＋4b＝0，解得b＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.

方法二：直线x＋2y－4＝0，所以k＝－，所以切线l的k＝2，f′(x)＝＝(2x＋Δx)＝2x，所以令f′(x)＝2x＝2，所以x＝1，代入曲线方程得切点坐标为(1，1)，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，化简得2x－y－1＝0.故选A．

7．(多选)下列说法中错误的是(　　)

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线

B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率存在

D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱

【答案】ABD　【解析】f′(x0)不存在时，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处不一定没有切线，如f(x)＝，则f′(x)＝，当x＝0时f′(0)不存在，但曲线在该点处的切线方程为x＝0，故A错误；曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线时，f′(x0)不一定存在，因为A，B是逆否命题，举例如A中函数即可，故B错误；当f′(x0)存在时，根据曲线在某点处的导数几何意义知，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率存在即为f′(x0)，故C正确；当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在时，曲线在该点处也可能有切线，此时切线垂直x轴，故D错误．故选ABD．

8．直线y＝－x＋b是函数f(x)＝图象的切线，则切点是________，实数b＝________．

【答案】或　1或－1

【解析】f′(x)＝＝－＝－，解得x＝±2.当x＝－2时，y＝－，b＝－1；当x＝2时，y＝，b＝1.

9．(2022年黄冈月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．

【答案】②　【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．

10．(2021年上海格致中学期末)已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．

解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，

∵＝＝

(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.

∴＝3x－4x0，即f′(x0)＝3x－4x0，由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，

解得x0＝－或x0＝2.

∴切点的坐标为或(2，3)．

当切点为时，

有＝4×＋a，∴a＝；

当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，

∴a＝－5.

当a＝时，切点为；

当a＝－5时，切点为(2，3)．

B级——能力提升练

11．(多选)(2021年成都月考)下列命题正确的是(　　)

A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线

B．函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点

C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1

D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0

【答案】BD　【解析】若f′＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又＝－＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．故选BD．

12．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．0<f′(a)<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)

B．0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)

C．0<f′(a＋1)<f′(a)<f(a＋1)－f(a)

D．0<f(a＋1)－f(a)<f′(a)<f′(a＋1)

【答案】B　【解析】f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间，∴0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)．

13．(2022年郑州月考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．

【答案】2　【解析】由导数的定义，得f′(0)＝＝＝(a·Δx＋b)＝b.

又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，

则所以ac≥，所以c>0，

所以＝≥≥＝2.

14．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．

【答案】1　2

【解析】＝(a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1.又因为3＝a×12＋b，所以b＝2.

15．已知曲线y＝f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行．

(1)求x0的值；

(2)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程．

解：(1)f′(x0)＝

＝＝2x0，

g′(x0)＝

＝＝－3x.

由题意得2x0＝－3x，解得x0＝0或－.

(2)当x0＝0时，f′(x0)＝0，又因为f(0)＝－1，

故所求切线方程为y＝－1；

当x0＝－时，f′(x0)＝－.

又因为f＝－，

故所求切线方程为y＋＝－，

即y＝－x－.