高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步训练题

第五章　5.2　5.2.2

A级——基础过关练

1．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】D

2．已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，则a＝(　　)

A．0　　　 B．1

C．2　　　　　 D．4

【答案】A

3．已知f(x)＝ex＋2xf′(1)，则f′(0)＝(　　)

A．1＋2e　 B．1－2e

C．ln2　 D．2e

【答案】B　【解析】由f(x)＝ex＋2xf′(1)，得f′(x)＝ex＋2f′(1)，取x＝1得f′(1)＝e＋2f′(1)，所以f′(1)＝－e.故f′(0)＝1＋2f′(1)＝1－2e.

4．若过点(2，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋7x－4都相切，则a的值为(　　)

A．2 B．

C．2或－ D．3或

【答案】C　【解析】设直线方程为y－0＝k(x－2)，又因为与曲线y＝x3相切，所以k＝y′＝3x2.所以直线方程为y＝3x2(x－2)．直线y＝3x2(x－2)与曲线y＝x3联立解得或则切线的斜率k＝0或k＝27.

①若k＝0，此时切线的方程为y＝0，与方程y＝ax2＋7x－4联立得ax2＋7x－4＝0.此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝49＋16a＝0，解得a＝－.

②若k＝27，其切线方程为y＝27(x－2)，与y＝ax2＋7x－4联立得ax2－20x＋50＝0，此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝400－200a＝0，解得a＝2.

所以a＝2或a＝－.

5．(2021年南阳期末)已知函数f(x)＝xcosx，其导函数f′(x)＝cosx－xsinx．若函数g(x)的导函数g′(x)＝xsinx，且g＝0，则g(π)的值为(　　)

A．－1　 B．1

C．π－1　 D．π＋1

【答案】C　【解析】由题意设g(x)＝sin x－xcos x＋c，则g′(x)＝cos x－cos x＋xsin x＝xsin x，符合题意，故g＝1＋c＝0，解得c＝－1，故g(x)＝sin x－xcos x－1，g(π)＝sin π－πcos π－1＝π－1.

6．(2022年邵阳期末)若f(x)＝xlnx，则f(x)图象上的点的切线的倾斜角α(　　)

A．一定为锐角 B．一定为钝角

C．可能为0° D．可能为直角

【答案】C　【解析】f′(x)＝ln x＋1，0<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增，而f′＝ln＋1＝0，所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为0°，当α＝90°时，斜率不存在，而f′(x)存在，则α＝90°不成立．故选C．

7．(多选)(2022年临沂期末)下列求导运算正确的是(　　)

A．′＝＋

B．(ln2＋log2x)′＝

C．(x2ex)′＝2xex

D．(3xcosx)′＝3x(ln3·cosx－sinx)

【答案】BD　【解析】对于A，′＝－，故A错误；(ln 2＋log2x)′＝，故B正确；(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，故C错误；(3xcos x)′＝3xln 3·cos x－3xsin x＝3x(ln 3·cos x－sin x)，故D正确．故选BD．

8．已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．

【答案】2　【解析】∵f′(x)＝＝，∴f′(0)＝＝2.

9．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．

【答案】8　【解析】∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4.又∵a2＋2b2≥2＝2ab＝8，当且仅当a2＝2b2，即a＝b时，取等号．

10．已知曲线y＝x3＋.

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；

(2)求过点P(2，4)的曲线的切线方程．

解：(1)因为y′＝x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝4，

所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x.

所以切线方程为y－＝x(x－x0)，

即y＝xx－x＋.

因为点P(2，4)在切线上，

所以4＝2x－x＋，

所以x－3x＋4＝0.

所以x－2x－x＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，

解得x0＝－1或x0＝2，

所以所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

B级——能力提升练

11．(2022年抚顺模拟)已知函数f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－2，3) B．(－6，0)

C．[－2，3] D．[－6，0]

【答案】D　【解析】依题意知函数f′(x)与g′(x)值域的交集为空集，∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤，∴≤－2a，解得－6≤a≤0.

12．(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是(　　)

A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1

C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝

【答案】AD　【解析】由题意知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；由题意得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD．

13．(2021年重庆期中)曲线f(x)＝lnx＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－∞，1]　【解析】由题意得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))(t>0)，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t＞0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时，取等号)，即a≤1.

14．(2021年重庆期末)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)为函数f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，已知函数f(x)＝2x3－3x2＋x＋1，则它的对称中心为________，f＋f＋f＋…＋f＝________．

【答案】　2020　【解析】由f(x)＝2x3－3x2＋x＋1可得f′(x)＝6x2－6x＋1，f″(x)＝12x－6，令f″(x)＝12x－6＝0，可得x＝，且f＝2×－3×＋＋1＝1，所以点为y＝f(x)的对称中心，所以f(x)＋f(1－x)＝2.令S＝f＋f＋f＋…＋f＋f＋f，S＝f＋f＋f＋…＋f＋f＋f，两式相加可得2S＝2020＝2020×2，所以S＝2020，即f＋f＋f＋…＋f＝2020.

15．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

解：(1)对函数f(x)求导，得

f′(x)＝＝.

因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，所以即解得a＝4，b＝1，所以f(x)＝.

(2)因为f′(x)＝，

所以直线l的斜率

k＝f′(x0)＝＝4.

令t＝，t∈(0，1]，

则k＝4(2t2－t)＝8－，

所以k∈.