数学5.2 余弦函数的图象与性质再认识复习练习题

第一章　5.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数f(x)＝xsin 是(　A　)

A．奇函数

B．非奇非偶函数

C．偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

[解析]　函数f(x)＝xsin＝xcos x，

∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，

且定义域为R，∴f(x)是奇函数．

2．当x∈[0,2π]时，满足sin≥－的x的取值范围是(　C　)

A． B．

C．∪ D．

[解析]　由诱导公式化简可得cos x≥－，结合余弦函数的图象可知选C．

3．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是(　AC　)

A． B．

C． D．∪

[解析]　在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和，故选AC．

4．函数y＝sin的一个对称中心是(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　y＝sin＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B．

5．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　D　)

[解析]　y＝cos x＋|cos x|

＝，故选D．

6．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内(　C　)

A．没有根 B．有且仅有一个根

C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根

[解析]　在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cos x的图象，如图所示．

发现有2个交点，所以方程|x|＝cos x有2个根．

二、填空题

7．函数y＝cos，x∈的值域是  .

[解析]　0≤x≤，≤x＋≤，－≤cos≤，所以函数的值域为.

8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增加的，则a的取值范围是 (－π，0] .

[解析]　∵y＝cos x在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数，

∴只有－π<a≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．

9．函数y＝的减区间为

 (k∈Z) .

[解析]　由已知得1－2cos x≥0，∴cos x≤，因此y＝的减区间即为y＝cos x的增区间且cos x≤，所以所求区间为：(k∈Z)．

三、解答题

10．若函数f(x)＝a－bsin x的最大值为，最小值为－，求函数y＝1－acos bx的最值和周期．

[解析]　(1)当b>0时，若sin x＝－1，f(x)max＝；

若sin x＝1，f(x)min＝－，

即解得

此时b＝1>0符合题意，所以y＝1－cos x.

(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值，最小值－矛盾，故b＝0不成立．

(3)当b<0时，显然有

解得符合题意．

所以y＝1－cos(－x)＝1－cos x.

综上可知，函数y＝1－cos x的最大值为，最小值为，周期为2π.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　B　)

A．f(x)是周期为1的奇函数

B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数

D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

[解析]　由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，

再f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，

∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cos πx－1＝f(x)．

2．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是(　D　)

A．cos 0<cos<cos 1<cos 30°<cos π

B．cos 0<cos π<cos<cos 30°<cos 1

C．cos 0>cos>cos 1>cos 30°>cos π

D．cos 0>cos>cos 30°>cos 1>cos π

[解析]　在上，0<<<1，又余弦函数在上是减少的，所以cos 0>cos>cos>cos 1>0.

又cos π<0，所以cos 0>cos>cos>cos 1>cos π.

3．函数y＝ln cos x的图象是(　A　)

[解析]　当x∈时，cos x∈(0,1]，

∴ln cos x≤0，

由此可排除B，C，D，故选A．

4．(多选)若函数f(x)＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是(　AC　)

A．当x∈时，y<0

B．f(0)＝1

C．f＝0

D．围成的封闭图形的面积为2π

[解析]　作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；

利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，

∴封闭图形的面积等于S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴D错误．故选AC．

二、填空题

5．若cos x＝，且x∈R，则m的取值范围是 (－∞，－3]∪ .

[解析]　∵＝|cos x|≤1，

∴|2m－1|≤|3m＋2|.

∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥－.

∴m∈(－∞，－3]∪.

6．函数y＝logcos x的递增区间是 (k∈Z) .

[解析]　由题知cos x>0，x∈，k∈Z.

又令t＝cos x，y＝logt，则t＝cos x的减区间即为y＝logcos x的增区间．

∴x∈(k∈Z)．

三、解答题

7．已知函数y＝cos x＋|cos x|.

(1)画出函数的简图；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；

(3)指出这个函数的单调增区间．

[解析]　(1)y＝cos x＋|cos x|

＝

函数图象如图：

(2)由图象可知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.

(3)由图象可知函数的单调递增区间为

(k∈Z)．

8．函数f(x)＝－＋acos x－cos2x的最大值为2，求实数a的值．

[解析]　令t＝cos x，由0≤x≤，知0≤cos x≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为y＝－t2＋at＋－＝－2＋＋－，t∈[0,1]．

(1)若≤0，即a≤0时，当t＝0时，

ymax＝－＝2，解得a＝－6.

(2)若0<<1，即0<a<2时，当t＝时，

ymax＝＋－＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去．

(3)若≥1，即a≥2时，当t＝1时，

ymax＝－1＋a＋－＝2，解得a＝.

综上所述，可知a＝－6或.