高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理课时训练

第二章　4.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(　B　)

A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－2e2和4e2－6e1

C．e1＋2e2和e2＋2e1

D．e2和e1＋e2

[解析]　3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．

2.如图所示，||＝||＝1，|OC|＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则(　B　)

A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1

C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1

[解析]　解法1：过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△OCD中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋.

∴x＝－2，y＝1．

解法2：画图知x<0且y>0，所以选B．

3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(　A　)

A．－ B．－

C．＋ D．＋

[解析]　＝＋＝－＋＝－×(＋)＋＝－.

4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　B　)

A．2 B．3

C．4 D．5

[解析]　由＋＋＝0可知，M为△ABC的重心，故＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，即m＝3.

5．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是(　B　)

A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线

C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0

[解析]　由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B．

6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　如图，

＋＝－(＋)－(＋)

＝－(＋)＝(＋)＝.

选A．

二、填空题

7.如右图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝ b＋a .

[解析]　＝＋＝＋＝＋＝b＋a.

8．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝  .

[解析]　依据平行向量基本定理列方程组求解．

∵λa＋b与a＋3b平行，

∴可设λa＋b＝t(a＋3b)，

即λa＋b＝ta＋3tb，

∴解得

9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝ a－b .

[解析]　设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，

∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，

∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.

∵e1与e2不共线，∴

∴∴e1＋e2＝a－b.

三、解答题

10.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.

[解析]　∵四边形ABCD是平行四边形，

E，F分别是BC，DC边上的中点，

∴＝＝2，＝＝2，

∴＝＝b，

＝＝＝－＝－a.

∴＝＋＋＝－＋＋

＝－b＋a＋b＝a－b，

＝＋＝＋＝b－a.

B　组·素养提升

一、选择题

1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　B　)

A．2 B．4

C．5 D．7

[解析]　以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，

则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，

因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，

所以解得所以＝4.故选B．

2．(多选)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是(　ABD　)

A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内

B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一

C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0

D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在

[解析]　选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．

3．若＝a，＝b，＝λ，则＝(　D　)

A．a＋λb B．λa＋b

C．λa＋(1＋λ)b D．

[解析]　∵＝λ，

∴－＝λ(－)，

(1＋λ)＝λ＋，∴＝.

4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m的值为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，

∴解得

二、填空题

5．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为 3 .

[解析]　设点E为边BC的中点，则

(＋)＝，

由题意，得＝，

所以＝＝(＋)＝＋，因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3.

6．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为 3 .

[解析]　方法一：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，

由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，

从而消去λ，得＋＝3.

方法二：由题意知＝×(＋)＝＝＋，

又P，G，Q三点共线，由三点共线性质定理可知＋＝1，即＋＝3.

方法三：(特例)当PQ∥AB时，m＝n＝，∴＋＝3.

三、解答题

7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基底；

(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；

(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

[解析]　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线，

得⇒

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，

则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.

∴⇒

∴c＝2a＋b.

(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.

∴⇒

故所求λ，μ的值分别为3和1．

8．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量.

[解析]　易得＝＝b，＝＝a，

由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.

由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.

所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，

所以

解得所以＝a＋b.