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北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面向量及运算的坐标表示课时训练
展开第二章 4.2
A 组·素养自测
一、选择题
1.(多选)给出下面几种说法,其中说法正确的是( ABD )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
[解析] 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是( C )
A. B.
C.(-8,1) D.(8,1)
[解析] =-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).
3.下列各组向量中,可以作为基底的是( B )
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
4.已知向量a=,b=,若a∥b,则锐角α为( A )
A.30° B.60°
C.45° D.75°
[解析] ∵a∥b,∴sin2α=×=,
∴sin α=±.
∵α为锐角,∴α=30°.
5.已知向量a=(1,3),b=(2,1),若a+2b与3a+λb平行,则λ的值等于( B )
A.-6 B.6
C.2 D.-2
[解析] a+2b=(5,5),3a+λb=(3+2λ,9+λ),
由条件知,5×(9+λ)-5×(3+2λ)=0,
∴λ=6.
6.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=,则顶点D的坐标为( A )
A.(4,5) B.(5,-4)
C.(3,2) D.(1,3)
[解析] 设D点坐标为(x,y),
则=(4,3),=(x,y-2),
由=,得
∴∴D(4,5).
二、填空题
7.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则= (-3,-5) .
[解析] ∵=-=-=(-)-=-2=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
8.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,则向量的坐标为 (-3,3) .
[解析] 设点A(x,y),则
x=||cos 150°=6cos 150°=-3,
y=||sin 150°=6sin 150°=3,
即A(-3,3),所以=(-3,3).
9.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为 .
[解析] a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2)
∵(a+λb)∥c,
∴4(1+λ)-3×2=0,∴λ=.
三、解答题
10.已知点A(2,3),B(5,4),C(5λ+2,7λ+3),若第三象限的点P满足=+,求实数λ的取值范围.
[解析] 设P(x,y),则=(x-2,y-3),
又=+=(3,1)+(5λ,7λ)
=(3+5λ,1+7λ),
于是由=+,
可得(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
所以即
因为点P在第三象限,
所以解得λ<-1.
故所求实数λ的取值范围是(-∞,-1).
B 组·素养提升
一、选择题
1.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b( C )
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
[解析] a+b=(0,1+x2),与y轴平行.
2.在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(3,5),=(-1,2),则+=( A )
A.(-2,4) B.(4,6)
C.(-6,-2) D.(-1,9)
[解析] 在平行四边形ABCD中,因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3).又=(-1,2),所以=+=(1,5),=-=(-3,-1),所以+=(-2,4),故选A.
3.(多选)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( AD )
A.k=-1 B.k=1
C.c与d同向 D.c与d反向
[解析] ∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),又a,b不共线,∴∴.∴c=-d,∴c与d反向.
4.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( C )
A.k=-2 B.k=
C.k=1 D.k=-1
[解析] 因为A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,则∥,又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.
二、填空题
5.(北京高考)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k= 1 .
[解析] a-2b=(,3).因为a-2b与c共线,
所以=,解得k=1.
6.已知点P1(2,-1),点P2(-1,3),点P在线段P1P2上,且||=||,则求点P的坐标为 (,) .
[解析] 设点P的坐标为(x,y),
由于点P在线段P1P2上,则有=,
又=(x-2,y+1),=(-1-x,3-y),
由题意得解得
∴点P的坐标为.
三、解答题
7.如图,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和与的坐标.
[解析] 由题知B,D分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得
x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,
∴B.
x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=,
∴D.
∴=,=.
8.如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D、M、B三点共线.
[解析] 如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系,令||=1,则||=1,||=2.
∵CE⊥AB,而AD=DC,
∴四边形AECD为正方形.
∴可求得各点坐标分别为:E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴=,∴∥,又E,D,C,B四点不共线,
∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点,∴M,
∴=(-1,1)-=,
=(1,0)-=.
∴=-,∴∥.
又 MD与MB共点于M,
∴D,M,B三点共线.
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