北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时一课一练

第二章　6.1 3 第一课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．在△ABC中，若＝，则角B等于(　B　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]　由正弦定理知＝，∵＝，∴sin B＝cos B，∵0°<B<180°，∴B＝45°.

2．在△ABC中，b＝7，c＝5，B＝，则a的值为(　D　)

A．3 B．4

C．7 D．8

[解析]　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，

∴49＝a2＋25－5a，

∴a2－5a－24＝0，

∴a＝8或a＝－3(舍去)，∴a＝8.

3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(　B　)

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

[解析]　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，

又∵b2＝ac，

∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，

∵B＝60°，∴A＝C＝60°.

故△ABC是等边三角形．

4．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　B　)

A．75° B．60°

C．45° D．30°

[解析]　∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，

∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B．

5．在△ABC中，已知(b＋c)(a＋c)(a＋b)＝456，则sin Asin Bsin C等于(　B　)

A．654 B．753

C．357 D．456

[解析]　∵(b＋c)(c＋a)(a＋b)＝456，

∴＝＝.

令＝＝＝k(k>0)，

则，解得

∴sin Asin Bsin C＝abc＝753.

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　C　)

A．3 B．

C． D．3

[解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，

∴ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.

二、填空题

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为  .

[解析]　根据正弦定理有：sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，

所以2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C，

因为B，C∈(0，π)，

所以sin B≠0，sin C≠0，

所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，

所以cos A＝＝＝，

所以bc＝，所以S＝bcsin A＝.

8．在△ABC中，A＝60°，最大边长与最小边长是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为  .

[解析]　∵A＝60°，

∴可设最大边与最小边分别为b、c.

由条件可知，b＋c＝9，bc＝8，

∴BC2＝b2＋c2－2bccos A

＝(b＋c)2－2bc－2bccos A

＝92－2×8－2×8×cos 60°

＝57，

∴BC＝.

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝，若·＝，且a＋b＝9，则c＝ 6 .

[解析]　因为·＝，所以abcos C＝，所以ab＝20，又因为a＋b＝9，

所以a2＋2ab＋b2＝81，

所以a2＋b2＝41，

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，解得c＝6.

三、解答题

10．如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．

[解析]　如图，连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C．

因为A＋C＝180°，所以sin A＝sin C，

所以S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A．

在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A．

在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝52－48cos C．

所以20－16cos A＝52－48cos C．

因为cos C＝－cos A，所以64cos A＝－32，

所以cos A＝－，又0°<A<180°，所以A＝120°，所以S＝16sin 120°＝8.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　A　)

A．2 B．－2

C．4 D．－4

[解析]　由题意，得S△ABC＝||·||·sin A＝×4×1×sin A＝，

∴sin A＝，又∵A∈，∴cos A＝.

∴·＝||·||·cos A＝4×1×＝2.

2．在△ABC中，lga－lgb＝lgsin B＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是(　A　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]　由题意得＝sin B＝，又∵∠B为锐角，

∴B＝45°，又＝＝，sin A＝sin B×＝，

∴∠A＝30°.

3．(多选)在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin Asin Bsin C＝456，下列选项正确的是(　AC　)

A．abc＝456

B．abc＝2

C．a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm

D．ABC＝456

[解析]　由正弦定理知abc＝456，故A正确，B错，D错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴C正确．

4．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是(　B　)

A．(8,10) B．(2，)

C．(2，10) D．(，8)

[解析]　若a是最大边，则

∴3≤a<.

若3是最大边，则

∴2<a<3，∴2<a<.

二、填空题

5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为  .

[解析]　本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b＋ab＝b2＋c2－bc，将a＝2代入可得b2＋c2－bc＝4，所以4≥bc.当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝bcsin A，当角A＝60°时有最大值为.

6．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则cos A＝ 0 ，该圆的直径长度为 65 .

[解析]　由余弦定理得BD2＝392＋522－2×39×52cos C，

BD2＝252＋602－2×25×60cos A，

∵A＋C＝180°，∴cos C＝－cos A，

∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A＋2×25×60cos A＝0，

∴cos A＝0.∵0°<A<180°，

∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，

∴BD＝65.

三、解答题

7．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b；

(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．

[解析]　(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4，

又∵△ABC的面积为，故absin C＝，得ab＝4.

联立方程组

得

(2)∵sin B＝2sin A，

由正弦定理得b＝2a，

联立方程组

得

故△ABC的面积S＝absin C＝.

8．如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，AB＝2，BD＝2.

(1)求∠ADB的大小；

(2)若DC＝2，求四边形ABCD的面积．

[解析]　(1)在△ABD中，由正弦定理得：＝，

所以sin ∠ADB＝＝＝.

因为A＝45°，所以0°<∠ADB<135°，

所以∠ADB＝30°.

(2)在△ABD中，∠ABD＝180°－30°－45°＝105°，

sin 105°＝，所以S△ABD＝BA·BD·sin ∠ABD＝×2×2×＝＋1；

在△BCD中，S△BCD＝DC·BD·sin ∠BDC＝×2×2×＝2.

所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝3＋1．