高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式测试题

第四章　2.4

A　组·素养自测

一、选择题

1．计算sin 105°cos 75°的值是(　B　)

A．　　　 B．　　　

C．－　　　 D．－

[解析]　sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.

2．已知sin(α＋β)sin(β－α)＝m，则cos2α－cos2β等于(提示：sin 2α＝2sin αcos α)(　B　)

A．－m B．m

C．－4m D．4m

[解析]　cos2α－cos2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)

＝－2sinsin·2cos·cos

＝－sin(α＋β)sin(α－β)

＝m.

故选B．

3．函数y＝sincos x的最大值为(　B　)

A． B．

C．1 D．

[解析]　∵y＝sincos x

＝

＝

＝sin－.

∴函数y取最大值为.

4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　A　)

A．0 B．

C． D．1

[解析]　原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.

5．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于(　A　)

A．1－cos α B．1－sin α

C．1＋cos α D．1＋sin α

[解析]　f(x)＝2sinsin＝－[cos α－

cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.

当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α.

6．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为(　C　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，

∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，

即cos2α－sin2β＝.

二、填空题

7．sin 105°＋sin 15°＝  .

[解析]　sin 105°＋sin 15°

＝2sincos＝2sin 60°cos 45°

＝2××＝.

8．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝  .

[解析]　原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°

＝2cos 60°·cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°

＝cos 60°＝.

9．sin·cos化为和差的结果是

  cos(α＋β)＋ sin(α－β) .

[解析]　原式＝＝ cos(α＋β)＋ sin(α－β)．

三、解答题

10．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．

[解析]　由题意，得cos Asin C＝[sin(A＋C)－

sin(A－C)]＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．

∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，

∴－1≤sin(A－C)≤1，

∴－≤－sin(A－C)≤.

∴cos Asin C的取值范围是.

B　组·素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝2sinsin的最大值是(　A　)

A． B．

C．－ D．－

[解析]　f(x)＝2sinsin

＝－

＝－cos＋cos

＝cos－.

f(x)max＝1－＝.

2．(多选)下列四个关系式中，不正确的是(　ABCD　)

A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ

B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ

C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ

D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ

[解析]　A错误，右边应是2sin 4θcos θ.B错误，右边应是2sin 4θsin θ.C错误，右边应是－2cos 4θsin θ.D错误，左边为异名三角函数，应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin＝2sincos.

3．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　D　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.

∴cos β－cos α>0，

∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数．

∴β<α，∴0<α－β<π，由原式可知：

2sincos＝，

∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.

4．已知△ABC是锐角三角形，P＝sin A＋sin B，Q＝cos A＋cos B，则(　B　)

A．P<Q B．P>Q

C．P＝Q D．P与Q的大小不能确定

[解析]　P－Q＝(sin A＋sin B)－(cos A＋cos B)＝2sin·cos－2cos·cos＝2cos，由于△ABC是锐角三角形，所以A＋B＝180°－C>90°，所以>45°，

sin>cos，0<A，B<90°，所以－45°<<45°，cos>0，综上，P－Q>0，即P>Q，故选B．

二、填空题

5．函数y＝coscos的最大值是  .

[解析]　由题意知，y＝

＝＝－cos 2x，

因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.

6.＋＝  .

[解析]　＋＝＋

＝

＝

＝

＝＝2cos 30°＝.

三、解答题

7．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．

(1)将f(x)表示成cos x的多项式；

(2)求f(x)的最小值．

[解析]　(1)f(x)＝＝

＝2coscos＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1．

(2)∵f(x)＝22－且－1<cos x<1，

∴当cos x＝－时，f(x)取最小值－.

8．求下列各式的值：

(1)cos＋cos－2sincos；

(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.

[解析]　(1)cos＋cos－2sincos

＝2cos·cos－cos

＝2coscos－cos

＝cos－cos＝0.

(2)sin 138°－cos12°＋sin 54°

＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°

＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°

＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°

＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°

＝

＝

＝

＝＝.