高中北师大版 (2019)第四章 三角恒等变换3 二倍角的三角函数公式3.1 二倍角公式巩固练习

第四章　3.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．若sin＝，则cos α等于(　C　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.

2．(2021·全国高考乙卷文科)cos 2－cos 2＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意，cos 2－cos 2＝cos 2－

cos 2＝cos 2－sin 2＝cos＝.

故选D．

3．函数y＝的最小正周期是(　B　)

A． B．

C．π D．2π

[解析]　y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.

4．sin 2α＝－，则cos2的值为(　C　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　cos2＝

＝＝＝.

5．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于(　A　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　∵sin 2A＝2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝.

∵在△ABC中，0<A<π，∴sin A>0，∴cos A>0，

∴sin A＋cos A＝＝＝＝.

6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，

∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]

＝＝－1，

又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.

二、填空题

7．若sin ＝， 则cos 2θ＝ － .

[解析]　由sin＝cos θ＝，

得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.

8．计算：tan －＝ －2 .

[解析]　原式＝＝＝－2.

9．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝  .

[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.

∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.

三、解答题

10．求下列各式的值：

(1)；

(2)2tan 15°＋tan215°；

(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

[解析]　(1)原式＝

＝

＝

＝＝＝8.

(2)原式＝tan 30°(1－tan215°)＋tan215°

＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1．

(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°

＝cos 20°cos 40°cos 80°

＝

＝

＝＝·＝.

方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，

＝sin 20°·sin 100°·sin 140°

＝sin 20°sin 80°sin 40°

＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.

∵y≠0，∴x＝.

从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于(　C　)

A．10° B．20°

C．70° D．80°

[解析]　由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.

所以α＝70°.

2．(2021·山西晋中高三适应性考试)若sin＝，则sin＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意及诱导公式可得sin＝

cos＝cos，

又由余弦的倍角公式，可得cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，

即sin＝.

3．(多选)下列各式中，值为的是(　BC　)

A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°

C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°

[解析]　A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1．故选BC．

4．(多选)已知函数f(x)＝，则有(　BCD　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)的图象关于点对称

C．函数f(x)是奇函数

D．函数f(x)的最小正周期为π

[解析]　因为f(x)＝＝＝

－tan x，

所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD．

二、填空题

5．若tan＝，则tan 2α＋＝ 2 .

[解析]　由tan＝＝，可求得tan α＝，

∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.

6．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝ － ；sin θ＝  .

[解析]　∵θ∈，

∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.

∴cos 2θ＝－

＝－＝－.

又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，

∴sin2θ＝＝＝，

∴sin θ＝.

三、解答题

7．定义向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，若m与n共线，则有x1y2－x2y1＝0，已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈.

(1)求sin α＋cos α的值；

(2)求的值．

[解析]　(1)∵m与n为共线向量，

∴×1－(－1)×sin α＝0，

即sin α＋cos α＝.

(2)由(1)得1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，

∴sin 2α＝－.

∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，

∴(sin α－cos α)2＝2－2＝.

又∵α∈，∴sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－.

因此，＝.

8．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．

[解析]　(1)因为f(x)＝cos2－sin cos －

＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，

所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.

(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，

所以cos ＝.

所以sin 2α＝－cos

＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.