高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式课时作业

第四章　3.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．(2021·陕西省西安市段考)的值等于(　A　)

A．sin 40° B．cos 40°

C．cos 130° D．±cos 50°

[解析]　＝＝＝|cos 130°|＝－cos 130°＝sin 40°，故选A．

2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　C　)

A．1 B．－1

C．0 D．±1

[解析]　因为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝

sin(α＋β－β)＝sin α＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sin αcos 2β＝0.

3．若sin θ＝，<θ<3π，则tan＋cos＝(　B　)

A．3＋ B．3－

C．3＋ D．3－

[解析]　因为<θ<3π，所以cos θ＝－＝－.因为<<，所以sin<0，cos<0，所以sin＝－＝－，cos＝

－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.

4．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由＋＝4，得＝4，

所以＝4，sin 2θ＝.

5．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于(　B　)

A． B．－

C．－ D．

[解析]　由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.

6.·等于(　B　)

A．tan α B．tan 2α

C．1 D．

[解析]　原式＝

＝＝＝tan 2α.

二、填空题

7．已知sin θ＝－，3π<θ<，则tan＝ －3 .

[解析]　根据角θ的范围，求出cos θ后代入公式计算，即由sin θ＝－，3π<θ<，得cos θ＝－，从而tan＝＝＝－3.

8．已知cos 2α＝，且<α<π，则tan α＝ － .

[解析]　∵<α<π，

∴tan α＝－＝－.

9．函数y＝cos x＋cos的最小值是 － ，最大值是  .

[解析]　法一　y＝cos x＋cos xcos－sin xsin＝cos x－sin x

＝＝cos，

当cos＝－1时，ymin＝－.

当cos＝1时，ymax＝.

三、解答题

10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos与tan的值．

[解析]　因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝－，cos β＝.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<，所以cos＝＝＝.

方法一：由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.

方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得

sin(α－β)＝＝.

所以tan＝＝＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是(　C　)

A． B．

C． D．[0,1]

[解析]　cos2A＋cos2B＝＋

＝1＋(cos 2A＋cos 2B)

＝1＋cos·cos

＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)

＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)．

∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈.

2．(2021·甘肃武威第十八中学单元检测)若<θ<π，则－＝(　D　)

A．2sin－cos B．cos－2sin

C．cos D．－cos

[解析]　∵<θ<π，∴<<，

∴sin>cos>0.

∵1－sin θ＝sin2＋cos2－2sincos

＝2，(1－cos θ)＝sin2，

∴－

＝－

＝－sin＝－cos.

3．(多选)下列各式中，值为的是(　AC　)

A． B．tan 15°cos215°

C．cos2－sin2 D．

[解析]　A符合，原式＝×＝tan 45°＝；B不符合，原式＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝；C符合，原式＝·cos＝；D不符合，原式＝×＝tan 60°＝，故选AC．

4．(多选)下列各式与tan α相等的是(　CD　)

A．

B．

C．·(α∈(0，π))

D．

[解析]　A不符合，＝＝＝|tan α|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；D符合，＝＝tan α.

二、填空题

5．已知tan＝，则cos α＝  .

[解析]　∵tan＝±，∴tan2＝.

∴＝，解得cos α＝.

6．设0<θ<，且sin＝，则tan θ等于  .

[解析]　∵0<θ<，sin＝，

∴cos＝＝.

∴tan＝＝，tan θ＝＝＝·(x＋1)＝.

7.2＋2sin2的值等于 2 .

[解析]　原式＝1＋sin α＋2·

＝1＋sin α＋1－sin α＝2.

三、解答题

8．已知在△ABC中，sin A(sin B＋cos B)－sin C＝0，sin B＋cos 2C＝0，求角A，B，C的大小．

[解析]　由sin A(sin B＋cos B)－sin C＝0，得

sin Asin B＋sin Acos B－sin(A＋B)＝0，

∴sin Asin B＋sin Acos B－sin Acos B－cos Asin B＝0，

∴sin B(sin A－cos A)＝0，

∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴sin A＝cos A，

∵A∈(0，π)，∴A＝，从而B＋C＝.

由sin B＋cos 2C＝0，得sin B＋cos＝0，

∴sin B－sin 2B＝0，sin B－2sin Bcos B＝0，

∴cos B＝，∴B＝，∴C＝.

于是A＝，B＝，C＝.

9．(2021·山西太原高一月考)已知函数f(x)＝sin－2cos2＋1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最小值，并求出取得最值时x的值．

[解析]　(1)因为f(x)＝sin－2cos2＋1

＝sincos－cossin－cos

＝sin－cos＝sin，

所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝4π.

由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，

得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，

故函数f(x)的单调递减区间为

(k∈Z)．

(2)因为x∈，－∈，所以当－＝－，即x＝时，

f(x)min＝f＝sin＝－，

所以函数f(x)在区间上的最小值为－，此时x＝.