高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2 直观图复习练习题

第六章　6.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．(多选)关于直观图画法的说法中，正确的是(　ACD　)

A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，其长度不变

B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，其长度不变

C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于45°

D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同

[解析]　由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y′轴，长度为原来的一半．只有B错误．

2. 下列说法正确的是(　D　)

A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形

B．两条相交直线的直观图可能是平行直线

C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直

D．平行四边形的直观图仍是平行四边形

[解析]　选项A错，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂直的两条直线的直观图夹角为45°或135°；选项D正确．

3．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则(　C　)

A．A′B′＝2C′D′　 B．A′B′＝C′D′

C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝C′D′

[解析]　∵AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.

4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　C　)

A．正方形 B．矩形

C．菱形 D．梯形

[解析]　将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示．由题意知O′D′＝O′C′＝2 cm，

OD＝2O′D′＝4 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm，

OC＝＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm＝OC，

∴原图形为菱形．

5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　A　)

[解析]　由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．

6.如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　C　)

A．1 B．

C．2 D．4

[解析]　由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝OB·OA＝2，故选C．

二、填空题

7．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为 正方形 .

[解析]　因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法的规则知∠DAB＝90°，

又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形，且A′B′＝2B′C′，

所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．

8.如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是 10 .

[解析]　由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10.

9．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为 10 .

[解析]　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.

三、解答题

10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

[解析]　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D的面积为×(1＋2)×＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(　C　)

①角的水平放置的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

A．0　 B．1　

C．2　 D．3

[解析]　由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，∴②③错．

2．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(　C　)

[解析]　按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．

3．已知正三角形ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图2中△A′B′C′所示．

易知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝OC＝.过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.

4．(多选)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中以下说法正确的是(　ACD　)

A．△ABC是直角三角形

B．AC长为6

C．BC长为8

D．AB边上的中线长为

[解析]　由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选ACD．

二、填空题

5.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 AC .

[解析]　画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．

6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 8 cm，面积是 2 cm2.

[解析]　如图，OA＝1 cm，

在Rt△OAB中OB＝2 cm，

所以AB＝＝3(cm)．

所以四边形OABC的周长为8 cm.面积是2 cm2.

三、解答题

7．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．

[解析]　(1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝ cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm；再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.

(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

8．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为a2，求△ABC的周长．

[解析]　图△ABC是△A′B′C′的原图形，设△ABC的边长为x，由斜二测画法知：A′B′＝AB＝x，O′C′＝OC＝x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，

∵∠C′O′D′＝45°，

∴C′D′＝O′C′＝×x＝x，

∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝x×x＝x2.

∴x2＝a2，∴x＝2a，

∴△ABC周长为3×2a＝6a.