数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时精练

这是一份数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时精练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( C )
A．{(1，2)} B．{(2，1)}
C．{1，2} D．{x2－3x＋2＝0}
[解析] 解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2．用列举法表示为{1，2}．
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( B )
A．{0，1} B．{(0，1)}
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))))
[解析] 解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋1，,x＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1.))
故该集合为{(0，1)}．
3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为( C )
A．{x|x＝2}B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1}D．{1，－2}
[解析] 方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2．由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．
4．若A＝{－1，3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为( D )
A．{(－1，3)}
B．{－1，3}
C．{(－1，3)，(3，－1)}
D．{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}
[解析] 因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}．
5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[解析] 因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1，1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图象交点组成的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为( D )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1．因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．联立方程组可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,y＝－2x＋8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))∴一次函数与y＝－2x＋8的图象交点为(2，4)，∴所求集合为{(x；y)|x＝2且y＝4}，故③不正确．
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}__．
[解析] ∵x＋y＝4，x∈N，y∈N，
∴x＝4－y∈N，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝0.))
∴A＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}．
8．集合{1，eq \r(2)，eq \r(3)，2，eq \r(5)，…}用描述法表示为__{x|x＝eq \r(n)，n∈N*}__．
[解析] 注意到集合中的元素的特征为eq \r(n)，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝eq \r(n)，n∈N*}．
9．已知集合A＝{x|2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__(－∞，－2]__．
[解析] 因为1∉A，则应有2×1＋a≤0，
所以(－∞，－2]．
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝14,3x＋2y＝8))，的解集；
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
[解析] (1)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))故解集可用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x，y)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝－2))，))))，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x|x2－2x＋1＝0}．
(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x＜0且y＞0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点，可用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
B 组·素养提升
一、选择题
1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋2y＝－1))的解集是( C )
A．{x＝1，y＝－1} B．{1}
C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}
[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为( D )
A．{1，2}
B．{(1，2)}
C．{(1，1)，(2，2)}
D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
[解析] x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2．
∴集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，故选D．
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD )
A．{x|x＝2k－1，k∈N}B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
[解析] 选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4．
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是( ABD )
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
[解析] 选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．
二、填空题
5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__．
[解析] 集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；
当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，满足题意．
故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1．
6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__．
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6．
∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素．
三、解答题
7．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(8,6－x)∈N))))，试用列举法表示集合A．
[解析] 由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2，而x≥0，∴x＝2，4，5，即A＝{2，4，5}．
8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析] (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq \f(9,8)，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，当a＝eq \f(9,8)时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq \f(9,8)且a≠0．
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤eq \f(9,8)．