高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件达标测试

第一章　§2　2.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．a＜b，b＜0的一个必要条件是(　A　)

A．a＋b＜0　 B．a－b＞0

C．＜0　 D．＜－1

[解析]　a＜b，b＜0⇒a＜b＜0⇒a＋b＜0，

则a＋b＜0是a＜b，b＜0的必要条件．

2．已知命题“若p，则q”，假设“若q，则p”为真，则p是q的(　B　)

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件

[解析]　由题意知q⇒p，则p是q的必要条件．

3．设x∈R，则“x＞1或x＜－1”是“|x|＞1”的(　C　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　由题意可知，故选C．

4．已知x∈R，则{x|x＜－1}是的(　A　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　{x|x＜－1}⇒，反之不成立，

所以“{x|x＜－1}”是“”的充分不必要条件．故选A．

5．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　C　)

A．a≥4　 B．a≤4

C．a≥5　 D．a≤5

[解析]　命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为对所有的x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．

6．若a，b为实数，则ab(a－b)＜0成立的一个充要条件是(　D　)

A．0＜＜　 B．0＜＜

C．＜　 D．＜

[解析]　ab(a－b)＜0⇔a2b－ab2＜0⇔a2b＜ab2⇔＜⇔＜．故选D．

二、填空题

7．用“充分”或“必要”填空：

(1)“x≠3”是“|x|≠3”的__必要__条件．

(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的__充分__条件．

8．下列说法正确的是__②④__．

①x2≠1是x≠1的必要条件；

②x＞5是x＞4的充分不必要条件；

③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；

④x2＜4是x＜2的充分不必要条件．

[解析]　由x2≠1⇒x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．

9．已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为__a＜8__．

[解析]　因为p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，所以a＜8．

三、解答题

10．已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．

[解析]　方法一：充分性：由xy＞0及x＞y，

得＞，即＜．

必要性：由＜，得－＜0，即＜0．

因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0．

所以＜的充要条件是xy＞0．

方法二：＜⇔－＜0⇔＜0．

由条件x＞y⇔y－x＜0，故由＜0⇔xy＞0．

所以＜⇔xy＞0，

即＜的充要条件是xy＞0．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　B　)

A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件

D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件

2．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　C　)

A．0＜a≤1　 B．a＜1

C．a≤1　 D．0＜a≤1或a＜0

[解析]　解法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则解得a＜0；若方程两根均负，则解得0＜a≤1．综上所述，充要条件是a≤1．

解法二(排除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B．故选C．

3．(多选题)有以下说法，其中正确的为(　ACD　)

A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件

B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”必要条件

C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件

D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件

[解析]　x∈Ax∈(A∩B)，故B错，A、C、D都正确，故选A、C、D．

4．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　BCD　)

A．A∪B＝B　 B．(∁UA)∩B＝∅

C．∁UA⊆∁UB　 D．A∪∁UB＝U

[解析]　由Venn图可知，BCD都是充要条件．

故选BCD．

二、填空题

5．给出下列四个条件：①a＞0，b＞0；②a＜0，b＜0；③a＝3，b＝－2；④a＞0，b＜0且|a|＞|b|，其中__①③④__是a＋b＞0的充分条件．(填序号)

6．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

[解析]　A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．

7．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为__－或__．

[解析]　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3．q：ax＋1＝0，即x＝－．由题意知pq，q⇒p，所以有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝．综上可知，a＝－或．

三、解答题

8．是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解析]　存在．由4x＋p＜0得x＜－，如图在数轴上

画出不等式x＞2或x＜－1，由数轴可得，当－≤－1时，即p≥4时，由x＜－≤－1⇒x＜－1⇒x＞2或x＜－1．故当p≥4时，“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件．