北师大版八年级上册1 探索勾股定理精品随堂练习题

这是一份北师大版八年级上册1 探索勾股定理精品随堂练习题，共33页。试卷主要包含了单选题，用勾股定理解直角三角形，勾股数的问题，勾股定理与面积问题，勾股定理的其他应用等内容，欢迎下载使用。

专题1.1 探索勾股定理（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、勾股定理的证明
1．如图，在四边形中，//，，点是边上一点，，，.下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个数是（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（     ）

A． B．
C． D．
3．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的直角边在同一条直线上.证明中用到的面积相等关系是（   ）

A． B．
C． D．
类型二、用勾股定理解直角三角形
4．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（       ）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5
5．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有（       ）
①≌；②；③；④

A．个 B．个 C．个 D．个
6．已知点是平分线上的一点，且，作于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
类型三、勾股数的问题
7．下列各组数是勾股数的是（       ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8
8．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（       ）

A．5 B．7 C．13 D．15
9．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）
A．16 B．17 C．25 D．64
类型四、勾股定理与面积问题
10．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（　　）

A． B． C． D．
11．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（       ）

A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
类型五、勾股定理的其他应用
13．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（       ）
A． B． C． D．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（     ）

A．29 B．32 C．36 D．45
15．定义：顺次连接平面内不在同一条直线上的任意三点A，B，C，称为A，B，C，三点的勾股差，记作，即．若D、E、F是平面内不在同一条直线上的任意三点，顺次将其连接，根据上述定义，下列结论错误的是（       ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
二、填空题
类型一、勾股定理的证明
16．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．

17．如图，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边长都是的直角三角形拼成如图形状用不同的方法计算这个图形的面积，可得关于a，b，c的一个等式是_______________________．

18．曾任美国总统的加菲尔德曾经给出了一种勾股定理的证明方法.如图，该图形整体上拼成了一个直角梯形，所以它的面积有两种表示方法，既可以表示为_______，又可以表示为_______.对比两种表示方法可得________，化简，可得.

类型二、用勾股定理解直角三角形
19．如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则______．

20．如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．

21．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．

类型三、勾股数的问题
22．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为______．
23．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13，则图中所有的正方形的面积之和为_____．

24．观察下列各组勾股数
（1）3，4，5
（2）5，12，13；
（3）7，24，25：
（4）9，40，41
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ___．
类型四、勾股定理与面积问题
25．如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________．

26．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．

27．如图，Rt△ABC的两条直角边，．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，，则的值为______，的值为______．

类型五、勾股定理的其他应用
28．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．

29．如图，在四边形ABCD中，，AD=CD，AB+BC=8，则四边形ABCD的面积是_________．

30．设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．
三、解答题
31．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2＋b2＝c2







32．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且，连接DE，DF．
(1)求证：；
(2)连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．
①依题意，补全图形；
②求证：；
③若，用等式表示线段BG，HG与AE之间的数量关系，请直接写出结论．





33．阅读理解：
课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_________，_________；
(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，……于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_________．
(3)用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数．




34．如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．

















参考答案
1．D
【解析】
【分析】证明△ABC≌△CDE（SAS），由全等三角形的性质可得出∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．由图形的面积可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．
∵∠A+∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠ACB=90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ACE=90°，
故①②正确；
∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴四边形ABDE的面积是(a+b)2；故③正确；
∵梯形ABDE的面积-直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积，
∴，
∴a2+b2=c2．故④⑤都正确．
综上，正确的结论是①②③④⑤，共5个
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．C
【解析】
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．
【详解】
标记如下：

∵，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4
＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
【点拨】此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．
3．D
【解析】
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【详解】
解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab=（a+b）2，
∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故选D．
【点拨】本题考查勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
4．C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．
【详解】
解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：
c2=62+82 ，
则 c=10 ，
直角三角形面积 S=×6×8=×c×h ，
可得 h=4.8 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．
5．C
【解析】
【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案．
【详解】
解：和都是等腰直角三角形，
，，，，，
，
，故正确；
，
，
在和中，，
≌，故正确；
，，
，
是直角三角形，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，故正确；
在上截取，连接，如图所示：
在和中，，
≌，
，
当时，是等边三角形，
则，此时，故不正确；
故选：．
【点拨】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM=PN，
∵，，，
∴由勾股定理可知：PM=3，
∴PN的最小值为3．
故选B．


【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数判定则可．
【详解】
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
B、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D、62+72≠82，不能构成直角三角形，故不是勾股数．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
8．B
【解析】
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，
∴S3=S2−S1=10−3=7，
故选：B．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案．
【详解】
解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，
故A＝17，
故选：B．
【点拨】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同．
10．B
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2ab的值，然后根据即可求得（a＋b）的值；根据小正方形的面积为即可求得，进而联立方程组求得a与b的值，则可求出答案．
【详解】
解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴，
∴，
∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，
∴，
∴，
∴．
∵小正方形的面积为，
又∵，
∴，
联立可得 ，解得 ，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的知识，解题关键是熟记完全平方公式，还要注意图形的面积和a、b之间的关系．
11．A
【解析】
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：∵(a+b)2=15，
∴a2+2ab+b2=15，
∵大正方形的面积为：a2+b2=9，
∴2ab=15−9=6，即ab=3，
∴直角三角形的面积为：，
∴小正方形的面积为：，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键．
12．D
【解析】
【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，
∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，
∴∠ADE=∠CAN，
又∵AD=CA，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴，AE=CN
同理可证△BGH≌△CBN，
∴，BH=CN
∴，
∴

，
∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，
故选D

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．
13．A
【解析】
【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】
解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，
∵，，
∴，
，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．
14．D
【解析】
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）
＝AC2−AB2
＝45．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
15．B
【解析】
【分析】根据定义，并结合有关的几何知识，可以对选项的正确性作出判断，从而选出错误选项．
【详解】
A、由已知定义，,,通过比较，成立，A正确；
B、由A可知，不管是否成立，都有成立，所以B不一定正确；
C、若，则为直角三角形，根据勾股定理有：，所以，C正确；
D、若，，，则，D正确；
故选B．
【点拨】本题综合考查阅读能力以及勾股定理等有关几何知识的应用，解题关键是根据题目给出的定义对各选项的有关符号作出表示．
16．a2+b2＝c2
【解析】
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
【详解】
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．


由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
17．
【解析】
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【详解】
根据题意得：S=(a+b)(a+b)，S=ab+ab+c2，
∴(a+b)(a+b) =ab+ab+c2，即(a+b)(a+b) =ab+ab+c2，
整理得：a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．     ；     ；     .
【解析】
【分析】因为梯形的上底为a，下底为b，高为（a+b），则它的面积可表示为（a+b）•（a+b）；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即（ab×2+c2）；则（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）．
【详解】
由题可知梯形面积为（a+b）（a+b）；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即（ab×2+c2）．
因此（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）
即a2+b2=c2．
【点拨】主要应用了梯形的面积公式和三角形的面积公式．
19．
【解析】
【分析】设CE=x，然后可得关于x的方程，解方程即可得到解答．　　　　　
【详解】
解：设CE=x，则AE=BE=BC-CE=8-x，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2，
即62+x2=（8-x）2，
解方程可得：


故答案为．
【点拨】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握勾股定理及方程思想方法在几何中的应用是解题关键．　
20．
【解析】
【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，

根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，
∵CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴AD=BD=A'D，
∴∠AA'B=90°，
又∵S△A'DE=12，
∴S△ADE=12，
∴S△ADA'=24，
又∵D为AB的中点，
∴S△AA'B=2S△AA'D=48，
即×AA′×A′B＝48，
∴AA'=12，
又∵F为A'E的中点，
∴A'F=EF，
在△A'BF与△ECF中，，
∴△A'BF≌△ECF（AAS），
∴CE=A'B=8，
∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，
∴EF=3，AF=9，
在Rt△CAE中，由勾股定理得：
CA=10，
在△CAF中，
CA•HF=AF•CE，
∴HF==，
即点F到AC的距离为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．
21．34
【解析】
【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．
【详解】
解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，
BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=34；
故答案为：34．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
22．16，63，65
【解析】
【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．
【详解】
解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑥组勾股数是16，63，65．
故答案为选：16，63，65．
【点拨】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
23．507
【解析】
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【详解】
解：如图所示，

根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形3，
S正方形A+S正方形B＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B
＝S正方形2+S正方形3
＝S正方形1，
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B
＝3S正方形1
＝3×132
＝3×169
＝507．
故答案为507
【点拨】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．##
【解析】
【分析】观察数据，题中数据第二个数和第三个数是连续的，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，根据完全平方公式展开即可求得中间的数．
【详解】
解：观察数据可知，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，
，
，，……，则第组勾股数为
设中间的数为，则第三个数为，

即

即中间的数为
故答案为：
【点拨】本题考查了数字类找规律，勾股数，整式的乘法运算，找到规律是解题的关键．
25．24
【解析】
【分析】根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可．
【详解】
解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，

则阴影部分的面积


，
故答案为24．
【点拨】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．
26．49
【解析】
【分析】根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．
【详解】
如图对所给图形进行标注：

因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．
因为，，
所以正方形A，B，C，D的面积和．
故答案为：49．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键．
27．     24     0
【解析】
【分析】先证明从而可得 再利用图形的面积关系可得： 两式相减可得： 而证明 从而可得第二空的答案.
【详解】
解：如图，以Rt△ABC的三边为边作三个正方形，






两式相减可得： 而


故答案为：24，0
【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明是解本题的关键.
28．
【解析】
【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．
【详解】
如图，连接，过点作，

设，则矩形中







在与中，




在中，




，
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
29．16
【解析】
【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意，可知：求出与的面积，即为四边形ABCD的面积．
【详解】
连接AC，
∵，
∴，，
∴
，
∵AB+BC=8，
∴，
∴，
∴
故答案为：16．

【点拨】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．
30．48
【解析】
【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
【详解】
解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，
∴a＋b＋10＝24，
∴a＋b＝14，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2＋b2＝102，
则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，
即142−2ab＝102，
∴ab＝48．
故答案为：48．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键．
31．证明见解析
【解析】
【分析】根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明
【详解】
证明：①左图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形，
；
②右图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了边长为a的一个正方形，边长为b的一个正方形，还有四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，
；
综上所述：，即．
【点拨】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
32．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析；③BG2＋HG2＝4AE2．
【解析】
【分析】（1）证△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再证∠EDF＝90°，即可得出结论；
（2）①依题意，补全图形即可；
②由直角三角形斜边上的中线性质得DG＝EF，BG＝EF，即可得出结论；
③先证△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再证DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后证△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCF＝90°，即∠A＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE＋∠CDE＝90°，
∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，
∴DE⊥DF；
(2)
①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，
∵G是EF的中点，
∴DG＝EF，BG＝EF，
∴BG＝DG；
③BG2＋HG2＝4AE2，
证明：由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEG＝45°，
∵G为EF的中点，
∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，
∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，
∵∠EGB＝45°，
∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，
∵∠DHF＋∠HFG＝∠DHF＋∠CDH＝90°，
∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，
∴∠CDF＝∠GDF−∠HDC＝22.5°＝∠CDH，
又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，
∴△CDH≌△CDF（ASA），
∴CH＝CF，
在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2＋HG2＝HF2，
∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，
∴BG2＋HG2＝（2AE）2，
∴BG2＋HG2＝4AE2．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
33．(1)60，61
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可．
(1)
解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
(2)
解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；
则用含a的代数式表示第三个数为；
故答案为：；
(3)
解：∵，，
∴，
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
【点拨】本题考查的是勾股数之间的关系，属规律型问题，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
34．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，根据角的和差关系可得，利用SAS即可证明△CEA≌△CDB；
（2）根据△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根据勾股定理即可得结论．
(1)
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，，
∴．
(2)
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．