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八年级上册1 探索勾股定理精品课时练习
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这是一份八年级上册1 探索勾股定理精品课时练习，共27页。试卷主要包含了单选题，用勾股定理解直角三角形，勾股数的问题，勾股定理与面积问题，勾股定理的其他应用等内容，欢迎下载使用。
专题1.1 探索勾股定理（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、勾股定理的证明
1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
类型二、用勾股定理解直角三角形
4．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为（ ）
A．80 B．30 C．90 D．120
5．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
类型三、勾股数的问题
7．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52
8．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．445 B．887 C．888 D．889
类型四、勾股定理与面积问题
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
11．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．直角三角形的两条直角边分别 12cm 和 16cm，斜边为 20cm，则斜边上的高为（ ）
A．8cm B．10cm C．9.1cm D．9.6cm
类型五、勾股定理的其他应用
13．在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
14．下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2；
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2；
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2；
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2；
15．直角三角形中，斜边长为为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一、勾股定理的证明
16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图，若，，则图中阴影部分的面积为______.
17．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是_____．
18．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．
类型二、用勾股定理解直角三角形
19．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
20．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为5和11，则c的面积为 _____．
21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于_________cm2．
类型三、勾股数的问题
22．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是，，，则正方形D的面积是______．
23．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．
24．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 _____．
类型四、勾股定理与面积问题
25．图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为______．
26．如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形的外部画半圆，，，则_________．
27．一直角三角形的三边长分别为2，3，，那么以为边长的正方形的面积为___．
类型五、勾股定理的其他应用
28．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____．
29．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝6，AH＝10，则CH的长度为_______．
30．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，且点坐标为，过点的直线轴，点为直线上的一动点，连结，交直线于点，则的值为_________．
三、解答题
31．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明．
32．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
33．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
勾股数组Ⅱ
35
34．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长．
35．如图，在中，于点，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积；
（3）判断的形状．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分别化简，再根据化简结果即可解答.
【详解】
解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4× +c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
2．B
【解析】
【分析】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，在中，，，，即可得出结论．
【详解】
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
∴在中，，，，
∴，A选项不符合题意；
根据勾股定理得：，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．
【详解】
解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故选：A．
【点拨】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为1800，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长．
【详解】
解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴c=±30(负值舍去)，
∴c=30，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案．
【详解】
解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】
解：A、62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C、，，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
8．D
【解析】
【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和．
【详解】
解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故选：D
【点拨】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n＋1）倍．
【详解】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，
生长次后，变成的图中所有正方形的面积，
生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是，斜边是，那么．
10．D
【解析】
【分析】设，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】
解：设，根据勾股定理可得，
即两个正方形的面积和为25
故选：D
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】根据直角三角形勾股定理可得出：，根据圆的面积公式，写出三个半圆的面积求和进行化简即可．
【详解】
解：根据勾股定理可得：，
由图形可得，计算各个半圆面积之和为：
，
，
,
，
故选：C．
【点拨】题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的代数式进行化简是解题关键．
12．D
【解析】
【分析】从直角三角形面积的两种求法入手，代入公式后计算即可．
【详解】
解：直角三角形面积=×一直角边长×另一直角边长=×斜边长×斜边的高，
∴斜边高==9.6cm．
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角形面积公式的应用，看清条件即可．
13．C
【解析】
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】
解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
14．D
【解析】
【分析】根据勾股定理的内容，即可解答．
【详解】
A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故错误；
B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B错误；
C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也错误；
D、符合勾股定理，正确．
故答案为：D．
【点拨】注意：利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．
15．B
【解析】
【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解:设该直角三角形的两条直角边分别为a、b
根据题意可得：
将②两边平方－①，得
∴
∴该直角三角形的面积为
故选B．
【点拨】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
16．10
【解析】
【分析】设正方形的边长为，根据全等三角形的性质得到，.由勾股定理得到方程解之，即可得到结论．
【详解】
由题意可得，，，
∴，.
∴.
设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
∴，
整理得，，
解得:或（舍去）.
∴，.
∴.
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．169．
【解析】
【分析】由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．
【详解】
解：由题意知，小正方形的边长为7，
设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则
tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．
所以b＝a，①
又以为b＝a+7，②
联立①②，得a＝5，b＝12．
所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．
故答案是：169．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.
18．
【解析】
【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
【详解】
解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为，，.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
19．69
【解析】
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．
【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
20．
【解析】
【分析】首先根据“AAS”证明△ABC≌△CDE，即可得出BC=DE，再根据勾股定理得出b的面积＝a的面积+c的面积，计算可得答案.
【详解】
如图，
∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE.
∵AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
∴b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝11﹣5＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等，确定三个正方形的面积之间的关系是解题的关键．
21．24
【解析】
【分析】利用勾股定理，可得：a2+b2＝c2＝100，即（a+b）2﹣2ab＝100，可得ab＝48，即可得出面积．
【详解】
解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝100，
∴（a+b）2﹣2ab＝100，
∴196﹣2ab＝100，
∴ab＝48，
∴S△ABC＝＝24cm2；
故答案为：24．
【点拨】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键．
22．15
【解析】
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】
解：如图，
根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-12-14=15（cm2）；
故答案为：15．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
23．11，60，61
【解析】
【分析】由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，计算求解即可．
【详解】
解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
∴知第5组第一个数是11，
第二、第三个数相差为1，
设第二个数为x，则第三个数为，
由勾股定理得：，
解得x＝60，
∴第5组数是：11、60、61
故答案为：11、60、61．
【点拨】本题考查了数字类规律，勾股定理等知识．解题的关键在于推导规律．
24．79
【解析】
【分析】根据给出的数据找出规律：，，，由此求出的值，即可求出答案．
【详解】
由题可得：，，，
，，，
，，，
……，
∴，，，
∴当时，，
∴，，
∴，
故答案为：79．
【点拨】本题考查勾股定理，根据题目给出的数据找出规律是解题的关键．
25．﹣9cm2
【解析】
【分析】根据题意，得∠DCE=90°，结合勾股定理的性质，计算得CD2+CE2=DE2；再根据正方形的性质，得S1= CD2，S2= DE2，通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：∠DCE=90°，
∴CD2+CE2=DE2
∵正方形ABCD的边长为CD，面积为S1；正方形DEFG的边长为DE，面积为S2，
∴S1= CD2，S2= DE2，
∵CE的长为3cm，
∴，
∴S1－S2=﹣9cm2，
故答案为：﹣9cm2．
【点拨】本题考查了勾股定理和正方形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理、正方形的性质，从而完成求解．
26．
【解析】
【分析】根据题意设直角三角形的三边为，分别表示出，得出，进而即可求解．
【详解】
解：设直角三角形的三边为，如图，
，，
，
，
S1＝18π，S3＝50π，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
27．13或5
【解析】
【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3是直角边，x是斜边或2和x是直角边，3是斜边，运用勾股定理进行计算即可．
【详解】
解：当2和3是直角边，x是斜边时，则x2=4+9=13；
当2和x是直角边，3是斜边，则x2=9-4=5．
故答案为：13或5．
【点拨】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．
28．18
【解析】
【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．
【详解】
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，
∵c＝3，
∴a2+b2+c2＝2×32＝18．
故答案为：18．
【点拨】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值．
29．2
【解析】
【分析】先利用等角的余角相等得到，再利用勾股定理解得，接着证明，由全等三角形的性质得到，最后由线段的和差解得的长．
【详解】
解：
，
在与中
故答案为：2．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．
【解析】
【分析】先根据勾股定理得出，再用等面积法得出OD×AB=OA×OB，最后通分所求式子再代换即可得出结论．
【详解】
∵OB⊥OA，
∴∠AOB=，
∴，
∵OD⊥AB，
∴OD×AB=OA×OB，
∵点D坐标为(4,0)，
∴OD=4，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及面积公式，灵活利用勾股定理和面积公式对所求式子进行变形是解题关键．
31．见解析
【解析】
【分析】多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证．
【详解】
解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则，
如图，这个多边形的面积为
整理得ab+c2=，
故．
【点拨】此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键．
32．
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
【详解】
解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
33．A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37．
【解析】
【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【详解】
解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
【点拨】本题考查了完全平方公式，勾股数，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
34．CD=9.6cm
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高．
【详解】
∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，
∴AB=20cm，
根据直角三角形的面积公式，得：
，
∴．
【点拨】此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边；
35．（1）15；（2）150；（3）为直角三角形，详见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，在中，运用勾股定理解得BC的长；
（2）在中，由勾股定理解得AD的长，进而解得AB的长，再根据三角形面积公式解题即可；
（3）在中，分别计算三边的平方，解得，由勾股定理的逆定理解题．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
在中，，即，
解得；
（2）在中，，
∴，解得，
∴．
∴．
（3）为直角三角形
在中，，即
∴为直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理，其中涉及三角形的面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
专题1.1 探索勾股定理（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、勾股定理的证明
1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
类型二、用勾股定理解直角三角形
4．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为（ ）
A．80 B．30 C．90 D．120
5．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
类型三、勾股数的问题
7．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52
8．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．445 B．887 C．888 D．889
类型四、勾股定理与面积问题
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．25
11．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．直角三角形的两条直角边分别 12cm 和 16cm，斜边为 20cm，则斜边上的高为（ ）
A．8cm B．10cm C．9.1cm D．9.6cm
类型五、勾股定理的其他应用
13．在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
14．下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2；
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2；
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2；
D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2；
15．直角三角形中，斜边长为为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一、勾股定理的证明
16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图，若，，则图中阴影部分的面积为______.
17．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是_____．
18．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．
类型二、用勾股定理解直角三角形
19．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
20．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为5和11，则c的面积为 _____．
21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于_________cm2．
类型三、勾股数的问题
22．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是，，，则正方形D的面积是______．
23．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．
24．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 _____．
类型四、勾股定理与面积问题
25．图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为______．
26．如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形的外部画半圆，，，则_________．
27．一直角三角形的三边长分别为2，3，，那么以为边长的正方形的面积为___．
类型五、勾股定理的其他应用
28．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____．
29．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝6，AH＝10，则CH的长度为_______．
30．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，且点坐标为，过点的直线轴，点为直线上的一动点，连结，交直线于点，则的值为_________．
三、解答题
31．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明．
32．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
33．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
勾股数组Ⅱ
35
34．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长．
35．如图，在中，于点，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积；
（3）判断的形状．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分别化简，再根据化简结果即可解答.
【详解】
解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4× +c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
2．B
【解析】
【分析】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，在中，，，，即可得出结论．
【详解】
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
∴在中，，，，
∴，A选项不符合题意；
根据勾股定理得：，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．
【详解】
解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故选：A．
【点拨】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为1800，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长．
【详解】
解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴c=±30(负值舍去)，
∴c=30，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案．
【详解】
解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】
解：A、62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C、，，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
8．D
【解析】
【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和．
【详解】
解：如图，
由题意得：SA=1，
由勾股定理得：SB＋SC=1，
则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：
“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故选：D
【点拨】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n＋1）倍．
【详解】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，
生长次后，变成的图中所有正方形的面积，
生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是，斜边是，那么．
10．D
【解析】
【分析】设，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】
解：设，根据勾股定理可得，
即两个正方形的面积和为25
故选：D
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】根据直角三角形勾股定理可得出：，根据圆的面积公式，写出三个半圆的面积求和进行化简即可．
【详解】
解：根据勾股定理可得：，
由图形可得，计算各个半圆面积之和为：
，
，
,
，
故选：C．
【点拨】题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的代数式进行化简是解题关键．
12．D
【解析】
【分析】从直角三角形面积的两种求法入手，代入公式后计算即可．
【详解】
解：直角三角形面积=×一直角边长×另一直角边长=×斜边长×斜边的高，
∴斜边高==9.6cm．
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角形面积公式的应用，看清条件即可．
13．C
【解析】
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】
解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
14．D
【解析】
【分析】根据勾股定理的内容，即可解答．
【详解】
A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故错误；
B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B错误；
C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也错误；
D、符合勾股定理，正确．
故答案为：D．
【点拨】注意：利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．
15．B
【解析】
【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解:设该直角三角形的两条直角边分别为a、b
根据题意可得：
将②两边平方－①，得
∴
∴该直角三角形的面积为
故选B．
【点拨】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
16．10
【解析】
【分析】设正方形的边长为，根据全等三角形的性质得到，.由勾股定理得到方程解之，即可得到结论．
【详解】
由题意可得，，，
∴，.
∴.
设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
∴，
整理得，，
解得:或（舍去）.
∴，.
∴.
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．169．
【解析】
【分析】由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．
【详解】
解：由题意知，小正方形的边长为7，
设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则
tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．
所以b＝a，①
又以为b＝a+7，②
联立①②，得a＝5，b＝12．
所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．
故答案是：169．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.
18．
【解析】
【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
【详解】
解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为，，.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
19．69
【解析】
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．
【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
20．
【解析】
【分析】首先根据“AAS”证明△ABC≌△CDE，即可得出BC=DE，再根据勾股定理得出b的面积＝a的面积+c的面积，计算可得答案.
【详解】
如图，
∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE.
∵AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
∴b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝11﹣5＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等，确定三个正方形的面积之间的关系是解题的关键．
21．24
【解析】
【分析】利用勾股定理，可得：a2+b2＝c2＝100，即（a+b）2﹣2ab＝100，可得ab＝48，即可得出面积．
【详解】
解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝100，
∴（a+b）2﹣2ab＝100，
∴196﹣2ab＝100，
∴ab＝48，
∴S△ABC＝＝24cm2；
故答案为：24．
【点拨】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键．
22．15
【解析】
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】
解：如图，
根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-12-14=15（cm2）；
故答案为：15．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
23．11，60，61
【解析】
【分析】由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，计算求解即可．
【详解】
解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
∴知第5组第一个数是11，
第二、第三个数相差为1，
设第二个数为x，则第三个数为，
由勾股定理得：，
解得x＝60，
∴第5组数是：11、60、61
故答案为：11、60、61．
【点拨】本题考查了数字类规律，勾股定理等知识．解题的关键在于推导规律．
24．79
【解析】
【分析】根据给出的数据找出规律：，，，由此求出的值，即可求出答案．
【详解】
由题可得：，，，
，，，
，，，
……，
∴，，，
∴当时，，
∴，，
∴，
故答案为：79．
【点拨】本题考查勾股定理，根据题目给出的数据找出规律是解题的关键．
25．﹣9cm2
【解析】
【分析】根据题意，得∠DCE=90°，结合勾股定理的性质，计算得CD2+CE2=DE2；再根据正方形的性质，得S1= CD2，S2= DE2，通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：∠DCE=90°，
∴CD2+CE2=DE2
∵正方形ABCD的边长为CD，面积为S1；正方形DEFG的边长为DE，面积为S2，
∴S1= CD2，S2= DE2，
∵CE的长为3cm，
∴，
∴S1－S2=﹣9cm2，
故答案为：﹣9cm2．
【点拨】本题考查了勾股定理和正方形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理、正方形的性质，从而完成求解．
26．
【解析】
【分析】根据题意设直角三角形的三边为，分别表示出，得出，进而即可求解．
【详解】
解：设直角三角形的三边为，如图，
，，
，
，
S1＝18π，S3＝50π，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
27．13或5
【解析】
【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3是直角边，x是斜边或2和x是直角边，3是斜边，运用勾股定理进行计算即可．
【详解】
解：当2和3是直角边，x是斜边时，则x2=4+9=13；
当2和x是直角边，3是斜边，则x2=9-4=5．
故答案为：13或5．
【点拨】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．
28．18
【解析】
【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．
【详解】
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，
∵c＝3，
∴a2+b2+c2＝2×32＝18．
故答案为：18．
【点拨】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值．
29．2
【解析】
【分析】先利用等角的余角相等得到，再利用勾股定理解得，接着证明，由全等三角形的性质得到，最后由线段的和差解得的长．
【详解】
解：
，
在与中
故答案为：2．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．
【解析】
【分析】先根据勾股定理得出，再用等面积法得出OD×AB=OA×OB，最后通分所求式子再代换即可得出结论．
【详解】
∵OB⊥OA，
∴∠AOB=，
∴，
∵OD⊥AB，
∴OD×AB=OA×OB，
∵点D坐标为(4,0)，
∴OD=4，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及面积公式，灵活利用勾股定理和面积公式对所求式子进行变形是解题关键．
31．见解析
【解析】
【分析】多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证．
【详解】
解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则，
如图，这个多边形的面积为
整理得ab+c2=，
故．
【点拨】此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键．
32．
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
【详解】
解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
33．A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37．
【解析】
【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【详解】
解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
【点拨】本题考查了完全平方公式，勾股数，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
34．CD=9.6cm
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高．
【详解】
∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，
∴AB=20cm，
根据直角三角形的面积公式，得：
，
∴．
【点拨】此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边；
35．（1）15；（2）150；（3）为直角三角形，详见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，在中，运用勾股定理解得BC的长；
（2）在中，由勾股定理解得AD的长，进而解得AB的长，再根据三角形面积公式解题即可；
（3）在中，分别计算三边的平方，解得，由勾股定理的逆定理解题．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
在中，，即，
解得；
（2）在中，，
∴，解得，
∴．
∴．
（3）为直角三角形
在中，，即
∴为直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理，其中涉及三角形的面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
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