高中北师大版 (2019)第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用巩固练习

这是一份高中北师大版 (2019)第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．eq \r(3)cseq \f(π,12)－sineq \f(π,12)的值是( B )
A．0B．eq \r(2)
C．－eq \r(2)D．2
[解析] eq \r(3)cseq \f(π,12)－sineq \f(π,12)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs\f(π,12)－\f(1,2)sin\f(π,12)))＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)cs\f(π,12)－cs\f(π,3)sin\f(π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cs B＋cs(A－B)sin B≥1，则△ABC是( C )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰非直角三角形
[解析] 由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，
∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是直角三角形．
3.eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α可化为( A )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))
[解析] 原式＝sineq \f(π,6)cs α－cseq \f(π,6)sin α
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)).
4．若tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则tan α＝( A )
A．1 B．eq \f(1,7)
C．eq \f(1,5)D．eq \f(5,7)
[解析] tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)
＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1．
5．若sin α＝eq \f(3,5)，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( C )
A．eq \f(4,3)B．－eq \f(4,3)
C．7D．eq \f(1,7)
[解析] 易知tan α＝－eq \f(3,4).
tan β＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×1)＝eq \f(\f(7,4),\f(1,4))＝7.
6．已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<αA．eq \f(π,3)B．－eq \f(2π,3)
C．eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)D．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[解析] 由韦达定理得
tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan α·tan β＝4，
∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)，
又－eq \f(π,2)<α∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq \f(2π,3).
二、填空题
7．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs α＝eq \f(7,12)，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则sin(α－β)＝ eq \f(7,12) .
[解析] 由已知得tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1＋sin β,cs β)，
即sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，
所以sin αcs β－cs αsin β＝cs α，
即sin(α－β)＝cs α＝eq \f(7,12).
8.eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝ eq \f(1,2) .
[解析] eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin30°＋17°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin 30°cs 17°＋cs 30°sin 17°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin 30°cs 17°,cs 17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
9．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为 －2 .
[解析] 因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(4,1－3)＝－2.
三、解答题
10．已知cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)，－eq \f(π,2)<β<0<α(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－eq \f(5,13)，求sin α的值．
[解析] (1)∵cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)，
∴cs(α－β)＝eq \f(3,5)，
∵－eq \f(π,2)<β<0<α∴sin(α－β)＝eq \f(4,5).
(2)又sin β＝－eq \f(5,13)，∴cs β＝eq \f(12,13)，
由(1)得cs(α－β)＝eq \f(3,5)，sin(α－β)＝eq \f(4,5)，
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cs β＋cs(α－β)sin β
＝eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(33,65).
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是( BD )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
[解析] 因为sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝sin α＋sin β，所以cs β＝1且cs α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
2．(多选)下列式子结果为eq \r(3)的是( ABC )
①tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cs 25°＋cs 35°cs 65°)；③eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)；④eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°).
A．①B．②
C．③D．④
[解析] 对于①，利用正切的变形公式可得原式＝eq \r(3)；对于②，原式可化为2(sin 35°cs 25°＋cs 35°sin 25°)＝2sin 60°＝eq \r(3).
对于③，原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
对于④，原式＝eq \f(\r(3),3)，故选A，B，C．
3．已知α＋β＝eq \f(π,6)，且α、β满足eq \r(3)(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于( D )
A．－eq \f(\r(3),3)B．eq \r(3)
C．－eq \r(3)D．3eq \r(3)
[解析] ∵eq \r(3)(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，
∴eq \r(3)tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2eq \r(3)①
∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\r(3),3)，
∴3(tan α＋tan β)＝eq \r(3)(1－tan αtan β)，②
将②代入①得eq \r(3)＝tan α－2eq \r(3)，
∴tan α＝eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3eq \r(3).
4．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β－\f(π,4)))＝eq \f(1,5)，那么tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))等于( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,7)D．eq \f(4,7)
[解析] tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝
tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β＋\f(π,12)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β－\f(π,4)))))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β＋\f(π,12)))－tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β－\f(π,4))),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β＋\f(π,12)))tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β－\f(π,4))))
＝eq \f(\f(1,3)－\f(1,5),1＋\f(1,3)×\f(1,5))＝eq \f(1,8)，故选B．
二、填空题
5．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)的最大值为 1 ，最小值为 －1 .
[解析] 因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcs(x＋φ)＝sin(x＋φ)cs φ－sin φ·cs(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最值小值为－1．
6．(2021·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sin Acs B＝3sin Bcs A，B＝A－eq \f(π,6)，则B＝ eq \f(π,6) .
[解析] ∵sin Acs B＝3sin Bcs A，∴tan A＝3tan B，
又B＝A－eq \f(π,6)，
∴tan B＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝eq \f(tan A－tan\f(π,6),1＋tan Atan\f(π,6))，
即tan B＝eq \f(3tan B－tan\f(π,6),1＋3tan Btan\f(π,6))，
∴3tan2B－2eq \r(3)tan B＋1＝0，∴tan B＝eq \f(\r(3),3)，
又B为三角形的内角，∴B＝eq \f(π,6).
三、解答题
7．设cs α＝－eq \f(\r(5),5)，tan β＝eq \f(1,3)，π<α[解析] ∵π<α∵cs α＝－eq \f(\r(5),5)，π<α∵tan β＝eq \f(1,3)，0<β∴cs2β＝eq \f(cs2β,1)＝eq \f(cs2β,sin2β＋cs2β)＝eq \f(1,1＋tan2β)＝eq \f(1,1＋\f(1,9))＝eq \f(9,10)，
即cs β＝eq \f(3\r(10),10)，sin β＝eq \f(\r(10),10).
∴sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))×eq \f(\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2).
∵eq \f(π,2)<α－β8．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝eq \f(2,3)π ②taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？
[解析] 存在α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，使①②同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由①知：eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3)，
由②知taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，∴taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，
∴taneq \f(α,2)，tan β是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).
∵0<α∴taneq \f(α,2)≠1，即taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1．
又∵0<β∴存在锐角α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，使①②同时成立．