高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课后练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( B )
A．12 B．23
C．13D．14
[解析] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，∴S侧面积S表面积＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝23，故选B．
2．棱长为3的正方体的表面积为( C )
A．27B．64
C．54D．36
[解析] 正方体的表面积为S＝6×32＝54.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( C )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．8
[解析] 设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，
则l＝eq \f(1,2)(r＋R)，
又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，∴l2＝16，∴l＝4.
4．设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是( B )
A．10B．20
C．30D．40
[解析] 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(πl＝2πr，,πr2＝10，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝2r，,r2＝\f(10,π)))，从而该圆锥的侧面积为eq \f(1,2)πl2＝eq \f(1,2)π·4r2＝20.
5．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( B )
A．6a2B．12a2
C．18a2D．24a2
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为eq \f(1,3)a，其表面积为6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a))2＝eq \f(2,3)a2，总表面积S2＝27×eq \f(2,3)a2＝18a2，
∴增加了S2－S1＝12a2.
6．(2021·河北高一月考)某六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其表面积为( B )
A．12＋12eq \r(3)B．48＋12eq \r(3)
C．64＋6eq \r(3)D．72＋6eq \r(3)
[解析] 由题意知该六棱柱的侧面面积为4×2×6＝48，上、下底面的面积均为eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)×6＝6eq \r(3)，所以全面积等于48＋12eq \r(3).故选B．
二、填空题
7．如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为 24＋2eq \r(3) .
[解析] 该三棱柱的表面积为2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×\r(3)))＋3×(4×2)＝24＋2eq \r(3).
8．(2021·江苏省扬州市检测)若正四棱锥的底面边长为2eq \r(2) cm，体积为8 cm3，则它的侧面面积为 4eq \r(22) cm2.
[解析] ∵该正四棱锥的底面边长为2eq \r(2) cm，体积为8 cm3，∴该四棱锥的高为3 cm，∴侧面等腰三角形的高为eq \r(32＋\r(2)2)＝eq \r(11)(cm)，故S侧＝4×eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(11)＝4eq \r(22)(cm2)．
9．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ 3 cm.
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3 cm.
三、解答题
10.如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[解析] 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×eq \f(1,2)a×h′＝2×eq \f(\r(3),4)a2.
∴a＝eq \r(3)h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.
∴h′＝2eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)h′＝6.
∴S底＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，
S侧＝2S底＝18eq \r(3).
∴S表＝S侧＋S底＝18eq \r(3)＋9eq \r(3)＝27eq \r(3).
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2021·江苏高一期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( B )
A．80B．240
C．320D．640
[解析] 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为eq \r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16－4,2)))2)＝8.
∴等腰梯形的面积为eq \f(1,2)×(4＋16)×8＝80，∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240.故选B．
2．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( C )
A．120°B．150°
C．180°D．240°
[解析] 设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，
∴l＝2r，∴θ＝eq \f(2πr,l)＝π.
3．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是( AB )
A．32π2＋8πB．32π2＋32π
C．32π2＋64πD．64π
[解析] 当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，
底面圆的半径为r＝2，两底面面积为2πr2＝8π，
所以圆柱的表面积为32π2＋8π；
当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，
底面圆的半径为r＝4，两底面面积为2πr2＝32π，
所以圆柱的表面积为32π2＋32π.
4．(2020·全国Ⅰ卷理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )
A．eq \f(\r(5)－1,4)B．eq \f(\r(5)－1,2)
C．eq \f(\r(5)＋1,4)D．eq \f(\r(5)＋1,2)
[解析] 如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(b2－\f(a2,4))，
由题意得PO2＝eq \f(1,2)ab，即b2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ab，化简得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2·eq \f(b,a)－1＝0，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(1＋\r(5),4)(负值舍去)．故选C．
二、填空题
5．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，其侧面积为 32 cm2，全面积为 48 cm2.
[解析] 如图所示，
正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
所以斜高h′＝PE＝eq \f(OE,sin30°)＝eq \f(2,\f(1,2))＝4(cm)．
所以S正四棱锥侧＝eq \f(1,2)ch′＝eq \f(1,2)×4×4×4＝32(cm2)，
S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．
6．(2021·安徽省安庆市二模)已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2eq \r(3).若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为 (6＋4eq \r(3))π .
[解析] 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴eq \f(\r(3),4)×AC2＝2eq \r(3)，解得AC＝
2eq \r(2)，
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
∴圆锥底面的半径r＝OC＝ACcs30°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)，则该圆锥的表面积为π×(eq \r(6))2＋π×eq \r(6)×2eq \r(2)＝6π＋4eq \r(3)π＝(6＋4eq \r(3))π.
三、解答题
7．已知正三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq \r(3).求该三棱锥的表面积．
[解析]
如图所示，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq \r(3).
取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，
有VD＝eq \r(VB2－BD2)＝
eq \r(42－\r(3)2)＝eq \r(13)，
则S△VBC＝eq \f(1,2)×VD×BC＝eq \f(1,2)×eq \r(13)×2eq \r(3)＝eq \r(39)，S△ABC＝eq \f(1,2)×(2eq \r(3))2×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，
所以，三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3eq \r(39)＋3eq \r(3)＝3(eq \r(39)＋eq \r(3))．
8．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq \r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．
[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴eq \f(AE,AO)＝eq \f(EB,OC)，即eq \f(\r(3),2\r(3))＝eq \f(r,2)，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq \r(3)π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2eq \r(3)π＝(2＋2eq \r(3))π.