(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习04《函数及其表示》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习04《函数及其表示》(含详解)，共23页。试卷主要包含了函数的概念，函数的三要素，分段函数等内容，欢迎下载使用。

考点04 函数及其表示
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.

一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念

函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
2．必记结论
(1)相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.

2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
(4)y＝sinx的值域为[−1,1]．
三、分段函数
1．分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2．必记结论
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

考向一 求函数的定义域
在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点[来源:Z§xx§k.Com]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.

典例1 函数的定义域为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选C．
【名师点睛】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

1．函数的定义域为
A． B．
C． D．

典例2 若函数的定义域是，则函数的定义域为________．
【答案】
【解析】的定义域是，的定义域是，则的定义域为满足不等式的x的取值范围，，故答案为.
【名师点睛】根据“若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.

2．设函数，则的定义域为
A． B．
C． D．
考向二 求函数的值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数
可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．基本不等式法：
利用基本不等式(a>0，b>0)求最值．
若“和定”，则“积最大”，即已知a＋b＝s，则，ab有最大值，当a＝b时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab＝t，则，a＋b有最小值，当a＝b时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．
9．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
10．有界性法：
充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.
11．导数法：
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.

典例3 求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）[0，8]；（2）；（3）.
【解析】（1），
∵≤x≤1，∴≤x−2≤，∴1≤(x−2)2≤9，则0≤(x−2)2≤8．
故函数的值域为[0，8]．
（2）f(x)的定义域为，
令，得，
故.
（3）.当且仅当x＝2时“＝”成立.
故的值域为.

3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:，，已知函数，则函数的值域为
A． B．
C． D．[来源:Zxxk.Com]
考向三 求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).

典例4 已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方法一（配凑法）：，又，
所以.
方法二（换元法）：令，则，所以，所以.
【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，如果忽略了这一点，在求时就会出错.

4．若一次函数满足，则______．
考向四 分段函数
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
5．求奇偶性、周期性：
利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.

典例5 已知，则＋等于
A．－2　　 B．4
C．2　　　　 D．－4
【答案】B
【解析】∵＝，＝＝f＝，∴＋＝4.故选B．
【名师点睛】分段函数的应用：
设分段函数.
(1)已知x0，求f(x0)：
①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2；
②代入相应解析式求解．
(2)已知f(x0)＝a，求x0：
①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求x0；
②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；
③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求x0，判断是否属于I2，方法同上；
④写出结论．
(3)解不等式f(x)＞a：
或.

5．已知函数，若，则实数的值为
A． B．或
C． D．或

典例6 已知函数，若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数在上为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.
所以函数在上为减函数.由得，解得.故选A．
【思路点拨】判断分段函数两段的单调性，当时，为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图象开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数.时，两段函数值相等.进而得函数在上为减函数.根据单调性将不等式变为，从而解得即可
【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；
（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.

6．已知函数，则不等式的解集是________.


1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．设函数，若，则
A．1 B．
C．3 D．1或
3．函数，那么的值为
A． B．
C． D．
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
5．设下列函数的定义域为，则值域为的函数是
A． B．
C． D．
6．已知函数满足，则
A． B．
C． D．
7．设函数则下列结论中正确的是
A．对任意实数，函数的最小值为
B．对任意实数，函数的最小值都不是
C．当且仅当时，函数的最小值为
D．当且仅当时，函数的最小值为
8．函数的定义域为__________．
9．已知函数,，则__________．
10．设函数则使得成立的的取值范围是__________．

1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
2．（2017年高考山东卷理科）设函数的定义域为，函数的定义域为,则
A．（1,2） B．
C．（−2,1） D．[−2,1)
3．（2017年高考天津卷理科）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
4．（2018年高考江苏卷）函数的定义域为________．
5．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
6．（2018年高考江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为________．
7．（2017年高考江苏卷）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
8．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数，则满足的x的取值范围是_________.
9．（2019年高考江苏）函数的定义域是 ▲ .

变式拓展

1．【答案】D
【解析】由题意可知，自变量满足，故且，
故函数的定义域为，故选D.
【名师点睛】解答本题时，列出自变量满足的不等组，它的解集即为函数的定义域.函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号（，为偶数）中，；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
2．【答案】B
【解析】由题意，函数满足，即，
所以函数满足且，解得，
即函数的定义域为，
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的概念，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．解答本题时，由函数解得，再由函数，得到且，即可求解．
3．【答案】C
【解析】的定义域为，
，
因为，所以，
所以的值域为，所以的值域为，
故选C.
【名师点睛】解答本题时，先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域.函数值域的求法，大致有两类基本的方法：
（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.
（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.
4．【答案】1
【解析】因为是一次函数，故可设，
则，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为1.
【名师点睛】本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.解答本题时，先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后代入求出.
5．【答案】A
【解析】因为函数，所以，
因为，所以可得，
因为在R上的函数值恒大于0，
故，即．
故选A．
【名师点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解答本题时，由分段函数求得，结合指数函数的值域和方程思想，可得的值．
6．【答案】
【解析】由题意可得或，即或，
或，即解集为.
【名师点睛】本题考查的知识点是分段函数，一元二次不等式的解法，一元一次不等式的解法，而根据分段函数分段处理的原则，对不等式，分为和两种情况进行讨论，然后给出两种情况中解集的并集，即可得到答案．
考点冲关

1．【答案】B
【解析】由二次根式有意义的条件可得，解得，
所以.
由对数函数的性质可得，解得，
所以，
所以.
故选B.
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.解答本题时，根据函数的定义域化简集合，利用对数函数的单调性化简集合，由交集的定义可得结果.
2．【答案】A
【解析】当时，，，得，
当时，，得，这与矛盾，故此种情况下无解，
由上知，故选A．
【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可.
3．【答案】C
【解析】由题意，函数，令，则，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.解答本题时，根据函数的解析式，令即可求解.
4．【答案】D
【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，∴要使f(2x)有意义，必有0≤2x≤2，∴0≤x≤1，
∴要使g(x)有意义，应有，∴0 故选D．
5．【答案】D
【解析】由题，对于A，，在上，，所以函数单调递增，其值域为，排除A；
对于B，函数，为增函数，且当，排除B；
对于C，函数可以看作关于的二次函数，即易得值域为，排除C，
故选D.
【名师点睛】本题考查了函数的定义域和值域问题，熟悉导函数、基本初等函数的性质是解题的关键，属于较为基础题.解答本题时，利用导函数，基本初等函数的值域，分别对A、B、C选项进行分析，可得答案.
6．【答案】C
【解析】由,可得(2),
将(1)+(2)得:,
故选C．
7．【答案】D
【解析】因为
所以，当时，单调递增，此时；[来源:Zxxk.Com]
当时，；
（1）若，则，此时的值域为，无最小值；
（2）若，则，此时的值域为，此时，最小值为.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查分段函数，求分段函数的最值问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.解答本题时，分别讨论、两种情况，即可得出结果.
8．【答案】
【解析】依题意得，得，即函数的定义为.
【名师点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，解答本题时，利用偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：第一个是分数的分母不能为零，第二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三个是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.属于基础题.
9．【答案】3
【解析】由题意，得，即，解得，即.故填3.
10．【答案】
【解析】由，得或，得或，即的取值范围是，故答案为.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
直通高考

1．【答案】B
【解析】∵，．
∵时，；
∴时，，；
∴时，，，
如图：

当时，由解得，，
若对任意，都有，则.
则m的取值范围是.
故选B.
【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到时函数的解析式，并求出函数值为时对应的自变量的值.
2．【答案】D
【解析】由得，由得，故
，选D．
3．【答案】A
【解析】不等式可化为 (*)，
当时，(*)式即，即，
又（当时取等号），
（当时取等号），所以，
当时，(*)式为，．
又（当时取等号），
（当时取等号），所以．
综上，．故选A．
【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．
4．【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.
【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
5．【答案】(1,4)
【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；
当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
6．【答案】
【解析】由得函数的周期为4，
所以[来源:学+科+网]
因此
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
7．【答案】
【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．
8．【答案】
【解析】令，
当时，；
当时，；
当时，，
写成分段函数的形式：，
函数在区间三段区间内均单调递增，
且，可知x的取值范围是.
【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
9．【答案】
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
由已知得,即，解得，
故函数的定义域为.
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．