高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质习题

第一章　§3　3.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，则用不等式表示为(　B　)

A．v≤120km/h或d≥10m　　 B．

C．v≤120km/h　　 D．d≥10m

[解析]　考虑实际意义，知v≤120km/h，且d≥10m．

2．已知0＜a＜1，0＜b＜1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　C　)

A．M＜N　　 B．M＝N

C．M＞N　　 D．不确定

[解析]　∵0＜a＜1，0＜b＜1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)＞0，∴M＞N．

3．已知a＋b＜0，且a＞0，则(　A　)

A．a2＜－ab＜b2　 B．b2＜－ab＜a2

C．a2＜b2＜－ab　 D．－ab＜b2＜a2

[解析]　方法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，而B、C、D都不成立，∴选A．

方法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b．因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A．

4．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是(　C　)

A．a＞b＞－b＞－a　 B．a＞－b＞－a＞b

C．a＞－b＞b＞－a　 D．a＞b＞－a＞－b

[解析]　因为a＋b＞0，b＜0，所以a＞－b＝|b|＞0，所以必有a＞－b＞b＞－a．

5．若不等式a＞b与＞同时成立，则必有(　C　)

A．a＞b＞0　 B．0＞＞

C．a＞0＞b　 D．＞＞0

[解析]　若a＞b＞0，则＜，同理0＞a＞b时，＜，所以只有当a＞0＞b时，满足＞．

6．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　C　)

A．xy＞yz　 B．xz＞yz

C．xy＞xz　 D．x|y|＞z|y|

[解析]　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0．所以由可得xy＞xz．

二、填空题

7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__．

8．已知2b＜a＜－b，则的取值范围为__(－1，2)__．

[解析]　∵2b＜a＜－b，∴2b＜－b．∴b＜0．

∴＜＜，即－1＜＜2．

三、解答题

9．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc．

[证明]　∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．∴－ac＜－bc．

又e＞f，即f＜e，∴f－ac＜e－bc．

10．已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较与的大小．

[解析]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．

又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，

∴＞＞0，

又a＞b＞0，∴＞．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若－1＜α＜β＜1，则下列不等式恒成立的是(　A　)

A．－2＜α－β＜0　 B．－2＜α－β＜－1

C．－1＜α－β＜0　 D．－1＜α－β＜1

[解析]　∵－1＜β＜1，

∴－1＜－β＜1，－2＜α－β＜2，

又∵α＜β，

∴α－β＜0，－2＜α－β＜0．

2．(多选题)设0＜b＜a＜1，则下列不等式不成立的是(　ABD　)

A．ab＜b2＜1　 B．＜＜1

C．1＜＜　 D．a2＜ab＜1

[解析]　取a＝，b＝验证可得A，B，D不正确．

3．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　A　)

A．p＜q　 B．p＝q

C．p＞q　 D．由a的值决定

[解析]　由题意知p－q＝＋－(＋)，

∵(＋)2－(＋)2

＝2－2，

且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，

∴2－2＜0，

即(＋)2－(＋)2＜0，

∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q．

4．(多选题)下列说法中正确的是(　AC　)

A．若a＞b，则＞

B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1

C．若a＞b＞0，m＞0，则＜

D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

[解析]　对于A，∵c2＋1＞0，∴＞0，∵a＞b，

∴＞，故A正确；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故B中说法错误；对于C，因为a＞b＞0，所以＜，又因为m＞0，所以＜，故C中说法正确；对于D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，才有ac＞bd，故D中说法错误，故选AC．

二、填空题

5．给出下列命题：

①若a＜b，c＜0，则＜；

②若ac－3＞bc－3，则a＞b；

③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；

④若c＞a＞b＞0，则＞．

其中正确命题的序号是__④__．

[解析]　①当ab＜0时，＜不成立，故①不正确；

②当c＜0时，a＜b，故②不正确；

③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；

④a＞b＞0⇒－a＜－b＜0⇒0＜c－a＜c－b，

两边同乘以，得0＜＜，

又a＞b＞0，∴＞，故④正确．

6．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c．则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是__a＜c＜d＜b__．

[解析]　由a－d＝c－b，a＋d＜b＋c相加得a＜c；

又b－d＝c－a＞0，得b＞d，

又d＞c，故a＜c＜d＜b．

三、解答题

7．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．

[解析]　设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则

t1＝，t2＝＋．

因为t1－t2＝－＝＝－＜0，所以t1＜t2，所以甲先到达B地．

8．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．

[解析]　因为f(x)＝ax2－c，

所以即

解得

所以f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．

又因为－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，

所以≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，

所以－1≤f(2)－f(1)≤20，

即－1≤f(3)≤20．