2022新教材高中数学第一章预备知识综合测试北师大版必修第一册

第一章综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2021·全国新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　B　)

A．{2}　 B．{2，3}

C．{3，4}　 D．{2，3，4}

[解析]　由题设有A∩B＝{2，3}，故选B．

2．命题“∀x＞0，x2－2x＋1＞0”的否定是(　A　)

A．∃x0＞0，x－2x0＋1≤0 B．∀x＞0，x2－2x＋1≤0

C．∃x0≤0，x－2x0＋1≤0 D．∀x≤0，x2－2x＋1≤0

[解析]　含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“＞”改为“≤”，条件不变，故选A．

3．设a∈R，则a＞3是|a|＞3的(　D　)

A．既不充分也不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．充分不必要条件

[解析]　由“a＞3”能推出“|a|＞3”，充分性成立；反之由|a|＞3无法推出a＞3，必要性不成立．故选D．

4．下列命题正确的是(　D　)

A．若a＞b，则＜ B．若a＞b＞0，c＞d，则a·c＞b·d

C．若a＞b，则a·c2＞b·c2 D．若a·c2＞b·c2，则a＞b

[解析]　由题意，对于选项A中，当a＞0＞b时，此时＞，所以A是错误的；对于选项B中，当0＞c＞d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．

根据不等式的性质，可得若ac2＞bc2时，则a＞b是成立的，所以D是正确的．

5．已知2x＋3y＝3，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　C　)

A．　 B．

C．8　 D．24

[解析]　因为2x＋3y＝3，x，y均为正数，

则＋＝(2x＋3y)

＝≥＝8，

当且仅当＝且2x＋3y＝3，

即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值是8．

6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　C　)

A．9　 B．8

C．7　 D．6

[解析]　x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3．

所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2，5，6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C．

7．若不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是(　D　)

A．{a|－16＜a＜0}　 B．{a|－16＜a≤0}

C．{a|a＜0}　 D．{a|－8＜a＜8}

[解析]　不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，

所以Δ＝a2－4×4×4＜0，解得－8＜a＜8，

所以实数a的取值范围是{a|－8＜a＜8}．

8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为(　C　)

A．4　 B．4

C．8　 D．8

[解析]　由题意，p＝10，

S＝

＝≤·

＝8，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．下列命题中，是全称量词命题的有(　BC　)

A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立

B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立

C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立

D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立

[解析]　A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题．故选BC．

10．下列命题中真命题的是(　AB　)

A．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分条件

B．“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件

C．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分条件

D．“a＞b”是“ac2≤bc2”的必要条件

[解析]　当a＞b＞0时a2＞b2，A正确；B正确；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但|a|＜|b|，故C不正确；对于D，“a＞b”与“ac2≤bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB．

11．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　BCD　)

A．a＞0　 B．b＞0

C．c＞0　 D．a＋b＋c＞0

[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1＜0，－＝＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故BC正确；由二次函数的图象可知当x＝1时y＝a＋b＋c＞0，故D正确，故选BCD．

12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是(　BD　)

A．＞　 B．a＞|a－b|－b

C．a2＋b2＞4ab－3b2　 D．ab＋＞2

[解析]　对于A，＞⇒1＞⇒＞，当a＝b＞0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b＞|a－b|⇒a＞|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2＞4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab＞0⇒(a－2b)2＞0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2＞2，故D中不等式正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．若x＞1，则y＝3x＋的最小值是__3＋2__．

[解析]　∵x＞1，∴x－1＞0，因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝3＋2，

当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋2．

14．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a＝__－6__，c＝__－1__．

[解析]　由题意知a＜0，且不等式对应方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系得

解得

15．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为__3或6或9__．

[解析]　由题意可知B＝．若A∩B≠∅，则＝1或＝2或＝3，得a＝3或6或9．

16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．

(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；

(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；

(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；

(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．

[解析]　(1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．

(1)用列举法表示集合A与B；

(2)求A∩B及∁U(A∪B)．

[解析]　(1)由题知，A＝{2，3，4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}．

(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}，所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}．

18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．

(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；

(2)若命题“B∩(∁RA)中只有一个整数”是真命题，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A．由题知，A＝{x|－1≤x≤2}．

①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}，此时－1≤2m＜1，解得－≤m＜；

②当m≥时，B＝∅，B⊆A成立．

综上，实数m的取值范围是．

(2)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x＜－1或x＞2}．

①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}，

若(∁RA)∩B中只有一个整数，则－3≤2m＜－2，

得－≤m＜－1；

②当m≥时，B＝∅，(∁RA)∩B＝∅，不符合题意．

综上，实数m的取值范围是．

19．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．

(1)求a，b；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0．

[解析]　(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1．由根与系数的关系得解得

(2)结合(1)可知，原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0．所以

①当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}；

②当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}；

③当c＝2时，不等式的解集为∅．

20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R．

(1)当k变化时，试求不等式的解集A；

(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)，试探究集合B能否为有限集．若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

[解析]　(1)当k＝0时，A＝(－∞，4)；当k＞0时，A＝(－∞，4)∪；当k＜0时，A＝．

(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；

当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．

因为k＋＝－≤－4，当且仅当k＝－2时，等号成立，所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，此时A＝(－4，4)，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．

21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－．

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

[解析]　(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)

＝x－(160x＋400)

＝74000－－160x－400

＝73600－－160x(x≥40)．

(2)由(1)可得W＝73600－－160x

≤73600－2

＝73600－16000＝57600，

当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大，最大值57600万元．

22．(本小题满分12分)已知函数y＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式y≥x(结果用含m式子表示)；

(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤y≤4x恒成立，求负数n的最小值．

[解析]　(1)由题得：x≤x2＋mx－m，即(x＋m)(x－1)≥0；

①m＝－1时可得x∈R；

②m＜－1时，－m＞1，可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥－m}；

③m＞－1时，－m＜1，

可得不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}．

(2)x∈{x|1≤x≤2}时，x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立，

即为1≤x＋＋m≤4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，

即存在实数m，使得－x－＋1≤m≤－x－＋4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，

所以≤m≤，

即≤．

由y＝－x－(n＜0)在[1，2]上递减，

所以－n≤2－，即n≥－4，所以负数n的最小值为－4．