2022秋新教材高中数学习题课一空间向量与立体几何新人教A版选择性必修第一册

这是一份2022秋新教材高中数学习题课一空间向量与立体几何新人教A版选择性必修第一册，共7页。
习题课（一）  空间向量与立体几何一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)A．a＝(1,0,1)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：选D　若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.2．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　)A．(－2,2,0)　　　　　　 B．(2，－2,0)C.   D.解析：选C　由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.3．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．±   B．C．－  D．±解析：选C　＋λ＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.4．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A．   B．C．   D．解析：选C　法一：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，∴＝(－1,0，)，＝(1,1，)，∴·＝－1×1＋0×1＋()2＝2，||＝2，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝.法二：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，∴cos ∠DB1F＝.5.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　)A．   B．C．   D．   解析：选A　以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，＝，＝(0，－a,1)．∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2.∴＝，＝(2，－2,2)，∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.6.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)解析：选A　如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD的边长为a，M(x，y,0)，则0≤x≤a,0≤y≤a，P，C(0，a,0)，则||＝，||＝.由||＝||，得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y＝x(0≤x≤a)，故选A.  二、填空题7．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.解析：∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案：28．正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值等于_______．解析：如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案： 9．在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值等于________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，易求得点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，即sin α＝.答案：三、解答题10．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点．求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有解得x＝－y，z＝－y.故可取n＝(1，－，)．所以cos〈n，〉＝＝＝.即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.11.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若二面角D­PC­A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. (2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)，＝，＝(0,1,0)，设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝h，∴n1＝.由(1)知平面PAC的一个法向量为＝，∴|cos〈n1，〉|＝＝，解得h＝，同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，所以，点A到平面PBC的距离为d＝＝＝.12．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求二面角A1­BD­B1的平面角的余弦值．  解：(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形．故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E­xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，，0)，D(－，0，)，B1(－，，)．因此＝(0，，－)，＝(－，－，)，＝(0，，0)．设平面A1BD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．由即可取m＝(0，，1)．由即可取n＝(，0,1)．于是|cos〈m，n〉|＝＝.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1­BD­B1的平面角的余弦值为－.