人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理习题

课时跟踪检测（六）  用空间向量研究直线、平面的位置关系

1．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　 )

A．l∥α

B．l⊥α

C．直线l与平面α相交但不垂直

D．无法确定

解析：选B　∵μ＝a，∴μ∥a，∴l⊥α.

2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　)

A．3　　　　　　　　　 B．6

C．－9  D．9

解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行，

∴u⊥v，即u·v＝0，

∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9.

3．[多选]在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论正确的是(　　)

A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

B．平面B1CD的一个法向量为(1,1，1)

C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)

解析：选AC　∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；

∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；

∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；

∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确．故选A、C.

4.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　 )

A．EF至多与A1D，AC之一垂直

B．EF⊥A1D，EF⊥AC

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

解析：选B　建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，＝，＝(－1，－1,1)＝－3.

∴·＝0，·＝0，

∴EF⊥A1D，EF⊥AC，EF∥BD1.

5.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　 B．平行

C．垂直  D．不能确定

解析：选B　建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，

C(0，0,2)，B(2,0,2)，

∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，

∴＝(－1,0,1)．

又平面BB1C1C的一个法向量为

n＝(0,1,0)，

∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，

∴⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.

6．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．

解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．

答案：0

7．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________．

解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y.∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，

∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)

＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3.

答案：－3

8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．

解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设AB＝a，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E，＝(a,0,1)，＝，＝(0，－1，b)，

∵DP∥平面B1AE，

∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，

即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ

＝.

∴∴b＝λ＝，即AP＝.

答案：

9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.

证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.

所以＝，

＝(0，，1)，＝(，－，0)．

设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，

则n⊥，n⊥，

所以⇒

取y＝1，得x＝1，z＝－.

则n＝(1,1，－)．

因为＝.

所以n＝－ ，得n与共线．

所以AM⊥平面BDF.

10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F.

证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，

C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.

设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，

因为＝，

＝(－1,0,1)，

所以即取n＝(1,2,1)．

因为＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，

所以⊥n，且CE⊄平面C1E1F.

所以CE∥平面C1E1F.

1．[多选]如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论正确的有(　　)

A．A1M∥D1P

B．A1M∥B1Q

C．A1M∥平面DCC1D1

D．A1M∥平面D1PQB1

解析：选ACD　∵＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

∴∥，从而A1M∥D1P，可得A、C、D正确．

又B1Q与D1P不平行，故B不正确．

2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________.

解析：∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，

∴z＝4.∵＝(x－1，y，－3)，

且⊥平面ABC，

∴即

解得故＝.

答案：

3.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则＝，＝(a,0，z－3a)，＝. 又·＝a2－a2＋0＝0，故由题意得2a2＋z2－3az＝0，

解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.

答案：a或2a

4.如图，在三棱锥P­ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.

(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；

(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直．

证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P­xyz.

则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．

于是＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．

设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，

则即可取n＝(0,1，－1)．

显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．

又n·＝0，

∴n⊥，

即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，

∴平面GEF⊥平面PBC.

(2)由(1)知，＝(1，－1，－1)，

＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)，

∴·＝0，·＝0，

∴EG⊥PG，EG⊥BC，

∴EG与直线PG和BC都垂直．

5.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．

解：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．

(1)证明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，可得·＝0，·＝0，

所以AP⊥CD，AC⊥CD.

又因为AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以CD⊥平面PAC.

(2)设侧棱PA的中点是E，则E，

＝.

设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则

因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，

所以取x＝1，则y＝1，z＝2，

所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．

所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.

综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.