人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后作业题

习题课（二）  直线与圆

一、选择题

1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则直线l1与直线l2之间的距离为(　　)

A．1   B．

C．  D．2

解析：选B　由平行线间的距离公式可知，直线l1与直线l2之间的距离为＝.

2．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 009，b)在直线l上，则b的值为(　　)

A．2 017  B．2 018

C．2 019  D．2 020

解析：选C　直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，令x＝1 009，则b＝2 019.

3．已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则实数c的值为(　　)

A．－21或19  B．－11或9

C．－21或9  D．－11或19

解析：选B　∵点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，

∴点(1,1)到此直线的最小距离d＝＝2，

解得c＝9或－11.故选B.

4．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是(　　)

A．5  B．2

C．5  D．10

解析：选C　根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．

所以|A′B|＝＝5.

5．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是(　　)

A．|b|＝  B．－1<b≤1或b＝－

C．－1≤b≤1  D．非A、B、C的结论

解析：选B　作出曲线x＝和直线y＝x＋b，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．

将曲线x＝变为x2＋y2＝1(x≥0)．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，则满足＝1，|b|＝，b＝±.

观察图象，可得当b＝－或－1<b≤1时，直线与曲线x＝有且仅有一个公共点．

6．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]  B．[4,8]

C．[，3]  D．[2，3]

解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，

则圆心C(2,0)，r＝，

所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，

可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.

由已知条件可得|AB|＝2，

所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，

△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.

综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．

二、填空题

7．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________________．

解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1，所以M，所以切线方程为y－1＋＝x－＋1，整理得x－y＋2－＝0.

答案：x－y＋2－＝0

8．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最大值为________．

解析：圆心到直线的距离为＝＝5，再加上圆x2＋y2＝1的半径，得5＋1＝6，即为所求的最大值．

答案：6

9．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是________．

解析：法一：设直线l的方程为y＝k(x－3)，

将此方程分别与l1，l2的方程联立，

得和

解得xA＝和xB＝.

∵P(3,0)是线段AB的中点，∴xA＋xB＝6，

即＋＝6，解得k＝8.

故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.

法二：设直线l1上的点A的坐标为(x1，y1)，

∵P(3,0)是线段AB的中点，

则直线l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，

∴解得

∴点A的坐标为，由两点式可得直线l的方程为8x－y－24＝0.

答案：8x－y－24＝0

三、解答题

10．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．

解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，

即y＝－x＋3.

联立解得

即圆心C为(－3,6)，

则半径r＝＝2.

又|AB|＝＝4，

∴圆心C到AB的距离d＝＝4，

∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，

∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.

11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴r2＝OC2＝t2＋.

设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.

令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.

∴S△OAB＝|OA|×|OB|＝××|2t|＝4，

即△OAB的面积为定值．

(2)∵OM＝ON，CM＝CN，

∴直线OC垂直平分线段MN.

∵kMN＝－2，∴kO C＝.

∴直线OC的方程是y＝x.

∴＝t.解得t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，

此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，

圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，

此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝ >，

圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合题意，舍去．

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

12．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.

(1)求圆H的标准方程；

(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；

(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

解：(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

则由题意，可知解得

所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.

(2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，

所以d＝3.

若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，

则直线方程为x＝3，满足题意；

若直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，

圆心到直线l的距离为d＝＝3，

解得k＝，

所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.

综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.

(3)由题意得0＜|CP|－r≤2r，

即r＜|CP|≤3r恒成立，

所以

解得≤r＜.

于是圆C的半径r的取值范围为.