高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习

课时跟踪检测（二十七）  抛物线的简单几何性质

1．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝x　　　　　 　 B．y2＝3x

C．y2＝6x  D．y2＝－6x

解析：选C　∵抛物线的焦点为，∴p＝3，且抛物线开口向右．∴抛物线的标准方程为y2＝6x.

2．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为(　　)

A．1  B．1或3

C．2  D．2或6

解析：选B　|AF|＋|BF|＝4⇒xA＋＋xB＋＝4⇒xA＋xB＝4－p⇒2x中＝4－p，因为线段AB的中点到直线x＝的距离为1，所以＝1，所以|2－p|＝1⇒p＝1或3.

3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)

A．  B．1

C．  D．2

解析：选D　∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.故选D.

4．P为抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(　　)

A．相交  B．相离

C．相切  D．不确定

解析：选C　设PF的中点M(x0，y0)，作MN⊥y轴于N点，设P(x1，y1)，则|MN|＝x0＝(|OF|＋x1)＝＝|PF|.故相切．

5．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为(　　)

A．  B．－

C．－2  D．2

解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，

由得＝2，

即4kAB＝2，kAB＝.

6．已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________.

解析：由抛物线定义得xA＋1＝5，xA＝4，又点A位于第一象限，因此yA＝4，从而kAF＝＝.

答案：

7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝2，则|BF|＝________.

解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.

答案：2

8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x2－y2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

解析：由抛物线可知焦点F，准线y＝－，由于△ABF为等边三角形，设AB与y轴交于M，则|FM|＝p，不妨取B，|FM|＝|MB|，

即p＝，解得p＝2.

答案：2

9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.

解：(1)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3,0)，

由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，

∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为

y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，

由抛物线定义得5＝|AF|＝.

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，

故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．

解：∵过焦点的弦长为36，

∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．

故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．

∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，

∴直线的方程为y＝k(x－1)．

由整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)．

∴x1＋x2＝.

∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2.

又|AB|＝36，∴＋2＝36，∴k＝±.

∴所求直线方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．

1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若＝3，则||＝(　　)

A．3 B．4

C．6 D．7

解析：选B　由已知点B为AF的三等分点，作BH⊥l于点H，如图，则|BH|＝|FK|＝，所以|BF|＝|BH|＝.所以||＝3||＝4.

2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选C　因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.

3．(2020·福州期末)设抛物线y2＝2px上的三个点A，B(1，y2)，C到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为________．

解析：根据抛物线的几何性质可得d1＝＋，d2＝＋1，d3＝＋，由题意可得p>0，因此可判断d3最大，故d3＝＋＝3，解得p＝3.

答案：3

4．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则∴y－y＝4(x1－x2)，

∴k＝＝.

设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，

则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)

＝(|AA′|＋|BB′|)．

∵M′(x0，y0)为AB的中点，

∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，

∴y1＋y2＝2，∴k＝2.

答案：2

5．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．

求证：

(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；

(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；

(3)＋为定值.

证明：(1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，

则y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，

∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p2m2＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p.

当θ＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝；

当θ≠90°时，m＝，x1＋x2＝＋p，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝.

∴|AB|＝.

(2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝.

(3)＋＝＋

＝＝＝.

6．已知抛物线y2＝2x.

(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；

(2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．

解：(1)设抛物线上任一点P(x，y)，

则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋，

因为x≥0，且在此区间上函数单调递增，

所以当x＝0时，|PA|min＝，

故距点A最近的点P的坐标为(0,0)．

(2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则M到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，

所以点M的坐标为.