2022秋高中数学章末检测2第二章直线和圆的方程新人教A版选择性必修第一册

第二章章末检测

(时间：120分钟，满分150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0

【答案】A　

【解析】设与直线x－2y－2＝0平行的直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，将点(1,0)代入直线方程x－2y＋c＝0，得1－2×0＋c＝0，解得c＝－1．所以所求直线方程为x－2y－1＝0．

2．直线l的方程为x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为(　　)

A．150° B．120°

C．60° D．30°

【答案】A　

【解析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，直线l的方程为x＋3y－1＝0，则k＝tanθ＝－，解得θ＝．所以直线l的倾斜角为150°．故选A．

3．直线l1：ax－y－3＝0和直线l2：x＋(a＋2)y＋2＝0平行，则实数a的值为(　　)

A．3 B．－1

C．－2 D．3或－1

【答案】B　

【解析】由a·(a＋2)＋1＝0，即a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1．经检验成立，所以a＝－1．

4．无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点坐标为(　　)

A．(－2,1) B．(－2，－1)

C．(2,1) D．(2，－1)

【答案】A　

【解析】直线l：mx＋y－1＋2m＝0可整理为m(x＋2)＋y－1＝0，当解得x＝－2，y＝1，无论m为何值，直线总过定点(－2,1)．

5．已知圆心在y轴上的圆C与直线x＝3切于点M(3,2)．若直线3x＋4y＋m＝0与圆C相切，则m的值为(　　)

A．9 B．7

C．－21或9 D．－23或7

【答案】D　

【解析】圆心在y轴上的圆C与直线x＝3切于点M(3,2)，可得圆C的半径为3，圆心为(0,2)．因为直线3x＋4y＋m＝0与圆C相切，所以＝3，解得m＝－23或m＝7．故选D．

6．(2021年哈尔滨期末)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2关于直线l：x＋y－2＝0对称的圆的方程为(　　)

A．(x－4)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋4)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－4)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋4)2＋(y－1)2＝2

【答案】A　

【解析】由于圆心(1，－2)关于直线x＋y－2＝0对称的点的坐标为(4,1)，半径为2，故圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2关于直线x＋y－2＝0对称的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝2．故选A．

7．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)

A．－2 B．－4 

C．－6 D．－8

【答案】B　

【解析】圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，弦心距为d＝＝．因为圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，所以22＋()2＝2－a，所以a＝－4．

8．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　　)

A．2 B．－5

C．2或－5 D．不确定

【答案】C　

【解析】由圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，得C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为3和2．∵两圆外切，∴＝3＋2，化简得(m＋5)(m－2)＝0，∴m＝－5或m＝2．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　)

A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0

【答案】ABC　

【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上，所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．

10．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m

C．点(，0)到直线l的距离是2

D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0

【答案】CD　

【解析】对于A，直线l的斜率k＝tanθ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过点(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确．

11．已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　)

A．圆的圆心坐标为(1,1)

B．直线过定点(－2,1)

C．直线与圆相交且所截最短弦长为2

D．直线与圆可以相切

【答案】AC　

【解析】由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1,1)，半径r＝2，A对．直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点A(2,1)，B错．∵|CA|＝＝1＜2，∴直线与圆必相交，D错．如图，由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2＝2，C对．

12．在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能是(　　)

　　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　C 　　　　　　　D

【答案】ABD　

【解析】直线y＝ax＋a2经过圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心(－a,0)，且斜率为a，故不可能为A，B，D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在△ABC中，已知A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则BC边上的中线所在的直线的一般方程为__________．

【答案】x＋3y－5＝0　

【解析】BC的中点D(－1,2)，BC边上的中线所在的直线的方程为y－1＝(x－2)，即x＋3y－5＝0．

14．若直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，则直线l1恒过定点________；l1的倾斜角α的取值范围是________．

【答案】(0，－3)　　

【解析】直线l1：y＝kx－3恒过定点(0，－3)．直线l2：2x＋3y－6＝0在x轴和y轴上的截距分别为3,2，如图所示，因为kPA＝1，所以直线PA的倾斜角为，由图可知，要使直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，则l1的倾斜角的取值范围是．

15．已知圆x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0，当圆的面积最小时，直线y＝x＋b与圆相切，则b＝________．

【答案】±　

【解析】将x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0化为(x－1)2＋(y－m)2＝m2－2m＋2，所以圆的半径为．当圆面积最小时，圆的半径最小，此时m＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．因为直线y＝x＋b与圆相切，所以＝1，解得b＝±．

16．已知圆O：x2＋y2＝1，l为过点(0,2)的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为________．

【答案】或　

【解析】若直线l与圆相切，则l的斜率肯定存在，设l：y＝kx＋2，则d＝＝1，所以k＝±．所以直线l的倾斜角为或．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)已知直线l经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，直线l3：2x－y－1＝0．

(1)若l∥l3，求l的直线方程；

(2)若l⊥l3，求l的直线方程．

解：(1)由得

∴l1与l2的交点为(1,3)．

设与直线2x－y－1＝0平行的直线为2x－y＋c＝0，则2－3＋c＝0，∴c＝1．

∴所求直线方程为2x－y＋1＝0．

(2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线为x＋2y＋c＝0，

则1＋2×3＋c＝0，解得c＝－7．

∴所求直线方程为x＋2y－7＝0．

18．(12分)已知直线l：(1＋2m)x＋(m－1)y＋7m＋2＝0．

(1)求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M；

(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程．

(1)证明：直线l整理得(x－y＋2)＋m(2x＋y＋7)＝0．

联立解得

所以无论m为何实数，直线l恒过定点(－3，－1)．

(2)解：当直线l1的斜率不存在或等于零时，显然不合题意．

设直线l1的方程为y＝k(x＋3)－1(k≠0)．

令x＝0，则y＝3k－1；

令y＝0，则x＝－3．

所以直线l1与坐标轴的交点为A(0,3k－1)，B．

由于过定点M(－3，－1)作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，

则点M为线段AB中点，

即

解得k＝－．

所以直线l1的方程为y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0．

19．(12分)已知直线l：y＝kx与圆C1：(x－1)2＋y2＝1相交于A，B两点，C2与圆C1相外切，且与直线l相切于点M(3，)．

(1)求k的值，并求AB的长；

(2)求圆C2的方程．

解：(1)直线l：y＝kx经过点M(3，)，

所以＝3k，得k＝．

圆C1：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C1(1,0)，半径为1，直线l：x－3y＝0，

点C1(1,0)到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝．

(2)设过点M作与直线l垂直的直线l1，

l1的方程是y－＝－(x－3)，

即y＝－x＋4．

设C2(a，－a＋4)，又因为C1(1,0)，圆C2与圆C1相外切，且与直线l相切于点M(3，)，

所以|C1C2|＝1＋|MC2|，

即

＝1＋，

化简得a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0．

当a＝4时，C2(4,0)，

此时r2＝(4－3)2＋(0－)2＝4，

C2：(x－4)2＋y2＝4．

当a＝0时，C2(0,4)，

此时r2＝(0－3)2＋(4－)2＝36，

C2：x2＋(y－4)2＝36．

20．(12分)已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0．

(1)求顶点A和B的坐标；

(2)求△ABC外接圆的一般方程．

解：(1)由得顶点B(7，－3)．

由AC⊥BH，kBH＝－．所以可设AC的方程为y＝3x＋b，

将C(2，－8)代入，得b＝－14．

由得顶点为A(5,1)．

所以点A和B的坐标分别为(5,1)和(7，－3)．

(2)设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将点A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)分别带入圆的方程代入，

得解得

所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0．

21．(12分)某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线l的垂线AC上(C为垂足)，且分别位于距C为2a和a(a＞0)的点A和点B处，进攻队员沿直线AD向安全线跑动，防守队员沿直线方向拦截，设AD和BM交于点M，若在点M，防守队员比进攻队员先到或同时到，则进攻队员失败．已知进攻队员速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度不变，问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜？

解：如图，以l为x轴，C为原点建立平面直角坐标系．

设防守队员速度为v，则进攻队员速度为2v．

设点M的坐标为(x，y)，进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为

t1＝，t2＝．

若t1＜t2，则|AM|＜2|BM|，

即＜2，

整理得x2＋2＞2，

这说明点M应在圆E：x2＋2＝2以外，进攻队员方能取胜．

设AN为圆E的切线，N为切点．

在Rt△AEN中，AE＝2a－＝，EN＝，所以sin∠EAN＝＝＝，

故sin∠EAN＝30°．

所以进攻队员的路线AD与AC所成角大于30°即可．

22．(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．

(1)求点A关于直线l的对称点B的坐标；

(2)直线l关于点A对称的直线a的方程；

(3)以点A为圆心，3为半径长作圆，直线b过点M(2,2)，且被圆A截得的弦长为2，求直线b的方程．

解：(1)设点B(m，n)，

则

解得

所以点A关于直线l的对称点B的坐标为．

(2)设P(x，y)是直线a上任意一点，

则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点C(－2－x，－4－y)在直线l上，

所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0．

(3)设圆心A到直线b的距离为d，直线b被圆A截得的弦长为2，因此d＝＝．

当直线b斜率不存在时，x＝2不满足条件；

当直线b斜率存在时，设其方程为y－2＝k(x－2)，则＝，

解得k＝．

综上，直线b的方程为y＝x－或y＝x－．