高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后练习题

第二章　2.5　2.5.1

A级——基础过关练

1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．相切 B．直线过圆心

C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离

【答案】B　

【解析】圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1,0)，点(－1,0)在直线x－y＋1＝0上．

2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相离 B．相交

C．相切 D．以上答案都不正确

【答案】B　

【解析】因为点M在圆外，得a2＋b2＞1，所以O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，故直线与圆O相交．

3．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于(　　)

A．1或－19 B．10或－1

C．－1或－19 D．－1或19

【答案】A　

【解析】x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3,0)，半径r＝2，由题意得圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝－19或1．

4．M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是(　　)

A．相切 B．相交

C．相离 D．相切或相交

【答案】C　

【解析】点M在圆内，且不为圆心，则0＜x＋y＜a2，故圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离为d＝＞＝a，所以相离．

5．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)

A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0

B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

【答案】D　

【解析】设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5．所以所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．

6．过点G(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)

A． B．2

C．3 D．4

【答案】B　

【解析】当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即≥＝，即|AB|≥2．故|AB|的最小值为2．

7．(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB长度可能为(　　)

A．6 B．8

C．12 D．16

【答案】BC　

【解析】因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5．又因为圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为2＝2．又因为当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值为直径12，故AB∈[2，12]．故选BC．

8．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________．

【答案】8或－18　

【解析】由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，则＝1，解得m＝8或－18．

9．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．

【答案】　

【解析】直线y＝x＋1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝＝＝＝≥．

10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．

解：x2＋y2－8y＋12＝0可化为x2＋(y－4)2＝4，

则圆心为(0,4)，半径为2．

(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，

解得a＝－．

(2)过圆心C作CD⊥AB，

则

解得a＝－7或a＝－1．

故所求直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0．

B级——能力提升练

11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A．－或－ B．－或－

C．－或－ D．－或－

【答案】D　

【解析】反射光线过点(2，－3)，设反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．反射光线与圆相切，圆心(－3,2)到直线的距离等于半径1，即＝1，解得k＝－或k＝－．

12．(多选)(2022年莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a＞0，b＞0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)

A．ab≥ B．＋≥4

C．2≤ D．＋≤2

【答案】BC　

【解析】∵直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，即a2＋b2＝1．∴1≥2ab，∴ab≤，故A错误；＋＝＝≥4，故B正确；2＝＝＋ab≤＋＝，故C正确；＋≥2≥2，故D错误．故选BC．

13．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

【答案】[－1,1]　

【解析】由题意画出图形如图，点M(x0,1)，要使圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°．而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN≤1，图中只有点M′到M″之间的区域满足MN≤1，所以x0的取值范围是[－1,1]．

14．已知直线l1：2x－y＋4＝0，则过点(1,1)且与l1平行的直线l2的方程为________，若l2与圆x2＋y2－8y＋6＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．

【答案】2x－y－1＝0　2　

【解析】由题意，设l2方程为2x－y＋m＝0，因为直线l2过点(1,1)，所以2－1＋m＝0，m＝－1，所以直线l2方程为2x－y－1＝0．已知圆标准方程为x2＋(y－4)2＝10，圆心为C(0,4)，半径为r＝，圆心C到直线l2的距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2．

15．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．

解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

由已知可知，直线x＋2y＝0过圆心，则a＋2b＝0．①

又因为点A在圆上，则(2－a)2＋(3－b)2＝r2．②

因为直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，

所以()2＋2＝r2．③

由①②③，解得或

故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244．