高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例巩固练习

第二章　6.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是(　C　)

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

[解析]　＝(1,1)，＝(－3,3)，

所以·＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0，

故⊥，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

2．在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是(　D　)

A．∥

B．(＋)⊥(＋)

C．(－)·(－)＝0

D．·＝·

[解析]　·＝||||cos A，

·＝||||cos(π－A)，

∴·＝－·.

3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　C　)

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

[解析]　＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，

＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，

所以·＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0.

故⊥，且||≠||.∴△ABC是直角三角形．

4．在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是(　C　)

A．锐角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

[解析]　∵·＋||2＝0，

∴·＋2＝0，即·(＋)＝0.

∴·＝0.

∴⊥，即AB⊥AC．

∴∠A＝90°.

∴△ABC是直角三角形．

5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(　A　)

A．F1，F3成90°角

B．F1，F3成150°角

C．F2，F3成90°角

D．F2，F3成60°角

[解析]　由F1＋F2＋F3＝0⇒F3＝－(F1＋F2)⇒F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos 120°＝1＋4＋4×＝3⇒|F3|2＝3，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝知，F1，F3成90°角，故选A．

6．两个大小相等的共点力F1 ，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　B　)

A．40 N B．10 N

C．20 N D．10 N

[解析]　|F1＋F2|＝20.

又F1⊥F2，所以|F1|＝|F2|＝10，

当F1与F2夹角为120°时，

|F1＋F2|＝

＝＝10(N)．

二、填空题

7．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝ 2 .

[解析]　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，

∵＝2，

∴解得

∴C(3,3)．

又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，

∴a＝2.

8．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 2 .

[解析]　∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，

∴|F3|＝|－F1－F2|＝

＝

＝＝2.

9．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝ － .

[解析]　本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．

如图，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a，

∴·＝·＝a·b－＋－a·b

＝－－a·b

＝－－×＝－.

三、解答题

10．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．

[解析]　如图，建立坐标系，设E(e,0)，AM交EF于点N，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2)．

所以＝(8,4)，＝－＝(4,2)－(e,0)＝(4－e,2)，因为⊥，所以8(4－e)＋4×2＝0，解得e＝5，即AE＝5，所以S△AEM＝AE·BM＝10.

B　组·素养提升

一、选择题

1．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　C　)

A．(－2,4)　 B．(－30,25)

C．(10，－5) D．(5，－10)

[解析]　设A(－10,10)，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，

则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5v，

即(x＋10，y－10)＝5(4，－3)＝(20，－15)，

所以解得故选C．

2．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的(　C　)

A．重心　外心　垂心 B．重心　外心　内心

C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心

[解析]　由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．

3．△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是(　C　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．无法确定其形状

[解析]　由已知，·(＋－)＝·2<0，

∴角A为钝角，故选C．

4．(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的值可以是(　BCD　)

A．－2 B．－

C．－ D．－1

[解析]　方法1：(解析法)

建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．

设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，

∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×(－)＝－.

当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.

故选BCD．

方法2：(几何法)如图所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.

要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．

又||＋||＝||＝2×＝，

∴||||≤2＝2＝，

∴[·(＋)]min＝2(·)min＝－2×＝－.

故选BCD．

二、填空题

5．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 λ>－且λ≠0 .

[解析]　∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，

∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.

当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，

即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．

∴，得λ＝0，

即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.

即λ>－且λ≠0.

6．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是  .

 [解析]　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：

S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝，

所以sin θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sin θ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.

三、解答题

7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.

(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；

(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．

[解析]　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．

∵D为AB的中点，∴D，

∴||＝，||＝，

∴||＝||，即CD＝AB．

(2)∵E为CD的中点，∴E，

设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．

∵A，E，F三点共线，∴＝λ.

即(x，－m)＝λ，

则故λ＝，即x＝，∴F，

∴||＝，

即AF＝.