广东省揭阳市普宁市（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编 2解答题

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广东省揭阳市普宁市（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03 解答题
三、解答题
52．（2020·广东揭阳·九年级期末）解方程
53．（2020·广东揭阳·九年级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

54．（2020·广东揭阳·九年级期末）已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值．

…
-4

-2
-1
1

3
4
…

…

-2


6
3


…

（1）求出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表；
（3）根据上表，在下图的平面直角坐标系中作出这个反比例函数的图象．

55．（2020·广东揭阳·九年级期末）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
56．（2020·广东揭阳·九年级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
57．（2020·广东揭阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．

58．（2020·广东揭阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点，使它到轴的距离为4，若存在，请求出点的坐标，若不存在，则说明理由．

59．（2020·广东揭阳·九年级期末）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且．
①求证：∽；
②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

60．（2021·广东揭阳·九年级期末）用配方法解方程：
61．（2021·广东揭阳·九年级期末）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
62．（2021·广东揭阳·九年级期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（﹣1，0）．
（1）则b＝　 　，c＝　 　；
（2）该二次函数图象的顶点坐标为　 　；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当﹣1＜x＜0时，y的取值范围是　 　．

63．（2021·广东揭阳·九年级期末）B，D两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km，某时发生的地震对地面上以点A为圆心，30km为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B，D两地处测得点A的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（结果精确到0.1km，参考数据：）

64．（2021·广东揭阳·九年级期末）某商店销售一种成本为40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件
（1）商店要使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？
65．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边，AD，CD上，且，BD和EF交于点O，延长BD至点H，使得，并连接HE，HF．
求证：；
试判断四边形BEHF是什么特殊的四边形，并说明理由．

66．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
67．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G，设运动时间为t（s）（0＜t≤5）；

（1）当t为何值时，CM＝QM？
（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
68．（2021·广东揭阳·九年级期末）解方程：
69．（2021·广东揭阳·九年级期末）江西两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北随州抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是________．
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
70．（2021·广东揭阳·九年级期末）已知二次函数，
（1）将二次函数的解析式化为的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
71．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，，．

(1)证明：四边形ADCE为菱形；
(2)若，，求四边形ADCE的周长．
72．（2021·广东揭阳·九年级期末）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
73．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，一次函数（k为常数，）与反比例函数（m为常数，）的图象交于点和，与y轴交于点M．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积，
74．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作交BC于点E，作交CD于点F．
（1）证明：四边形PECF是矩形；
（2）证明：；
（3）已知，，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．

75．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，其中，与y轴交于点．

(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P坐标；
(3)如图2，在线段OB上取一点M，连接CM，请求出最小值．

【答案】
52．，.
【详解】解：方法一：移项，得，
二次项系数化为1，得，
，
，
由此可得，
，．
方法二：方程整理得：  
分解因式得：(x−1)(2x−1)=0，
解得：，．
点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有：直接开方法，配方法，公式法和因式分解法，观察题目选择合适的方法．
53．.
【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.
【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5，
∴AC==13，
∴sinC=．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
54．（1）y=；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）将x=1，y=6代入反比例函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）求出的解析式分别代入表中已知的数据求解即可得出答案；
（3）根据（2）中给出的数据描点连线即可得出答案.
【详解】解：（1）∵y是x的反比例函数
∴设y =
∵当x=1时，y=6
∴6=k
∴这个反比例函数的表达式为 .
（2）完成表格如下：
x
…

-3



2


…
y
…
-1.5

-3
-6


2
1.5
…

（3）这个反比例函数的图象如图：

【点睛】本题考查的是反比例函数，比较简单，需要熟练掌握画函数图像的方法.
55．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．
【详解】（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握列表法与树状图法求公式．
56．（1）6万座；（2）.
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是（万座）.
答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.
（2）设年平均增长率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合，舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
57．（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；
（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.
【详解】证明：（1），
，.
E是CD中点，，
又
(AAS)
（2），
，.
，
四边形OCFD是平行四边形，
平行四边形ABCD是菱形，
.
平行四边形OCFD是矩形.
【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.
58．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）存在一点P或，使它到x轴的距离为4
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出A和C的坐标，再将点A和点C的坐标代入二次函数解析式即可得出答案；
（2）先求出顶点D的坐标，再过D点作DM平行于y轴交AC于M，再分别以DM为底求△ADM和△DCM的面积，相加即可得出答案；
（3）令y=4或y=-4，求出x的值即可得出答案.
【详解】解：（1）直线y＝﹣x+2中，当x = 0时，y = 2；    
当y=0时，0 =﹣x+2，解得x = 4
∴点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），
把A（0，2）、C（4，0）代入
解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）y＝﹣x2+x+2
∴抛物线的顶点D的坐标为，

如图1，设直线AC与抛物线的对称轴交于点M
直线y＝﹣x+2中，当x = 时，y =
点M的坐标为，则DM=
∴△DAC的面积为=；
（3）当P到x轴的距离为4时，则  
①当y=4时，﹣x2+x+2=4，
而，所以方程没有实数根
②当y= - 4时，﹣x2+x+2= - 4，
解得
则点P的坐标为或；
综上，存在一点P或，使它到x轴的距离为4．
【点睛】本题考查的是二次函数，难度适中，需要熟练掌握“铅垂高、水平宽”的方法来求面积.
59．（1）3；（2）①见解析；②存在．由①得△DMN∽△DGM，理由见解析
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出AD=AF、DE=EF，进而设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，利用勾股定理求解即可得出答案；
（2）①根据平行线的性质得出△DAE∽△CGE求得CG＝6，进而根据勾股定理求出DG=10，得出AD=DG，即可得出答案；②假设存在，由①可得当△DGM是等腰三角形时△DMN是等腰三角形，分两种情况进行讨论：当MG＝DG=10时，结合勾股定理进行求解；当MG＝DM时，作MH⊥DG于H，证出△GHM∽△GBA，即可得出答案.
【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD =∠D＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴EC＝3．
（2）①如图2中，
∵AD∥CG，
∴∠DAE=∠CGE，∠ADE=∠GCE
∴△DAE∽△CGE
∴＝，
∴，
∴CG＝6，
∴在Rt△DCG中，，
∴AD=DG
∴∠DAG＝∠AGD，
∵∠DMN＝∠DAM
∴∠DMN＝∠DGM     
∵∠MDN=∠GDM
∴△DMN∽△DGM   
②存在．由①得△DMN∽△DGM
∴当△DGM是等腰三角形时△DMN是等腰三角形
有两种情形：
如图3﹣1中，当MG＝DG=10时，
∵BG＝BC+CG＝16，
∴在Rt△ABG中，，
∴AM＝AG - MG = ．
如图3﹣2中，当MG＝DM时，作MH⊥DG于H．
∴DH＝GH＝5，
由①得∠DGM =∠DAG=∠AGB
∵∠MHG =∠B
∴△GHM∽△GBA
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，AM的长为或．

【点睛】本题考查的是矩形综合，难度偏高，需要熟练掌握矩形的性质、勾股定理和相似三角形等相关性质.
60．，
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】解：




，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
61．见解析，
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】画树状图为：

共有种等可能的结果，
其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数有种
P分配到同一个监督岗．
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
62．（1）2，3；（2）（1，4）；（3）见解析；（4）0＜y＜3
【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）化成顶点式即可求得；
（3）根据函数的解析式画出抛物线即可；
（4）根据图形得出y的取值范围即可．
【详解】解：（1）将（0，3）、（﹣1，0）代入得：，
解得，
故答案是：2，3；
（2）∵，
∴顶点坐标为（1，4），
故答案是：（1，4）；
（3）如图：
；
（3）由图象可知，当x满足﹣1＜x＜0时，0＜y＜3，
故答案为0＜y＜3．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握二次函数解析式的求解，二次函数的图象和性质．
63．不受影响，理由见解析．
【分析】过点A作AC⊥BD于点C，然后根据特殊角三角函数即可求出AC，进而进行比较即可判断．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
根据题意可知：∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，BD=100km，
∴∠BAC＝45°，
∴BC＝AC，
在Rt△ACD中，tan∠ADC ，
∴，
∵BD＝BC＋CD，
∴AC＋AC＝100，
解得AC＝50（﹣1）≈36.6＞30，
∴高速铁路不会受到地震的影响．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
64．（1）60元或80元；（2）70元
【分析】（1）设销售价应定为每件x元，由利润8000元等于每件的利润乘以销售量得出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设销售价应定为每件x元，获得利润y元，由利润等于每件的利润乘以销售量得出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质及x的取值范围可得答案．
【详解】解：（1）设销售价应定为每件x元，由题意得：
（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
化简得x2﹣140x＋4800＝0，
解得：x1＝60，x2＝80，
∴销售价应定为每件60元或80元；
（2）设销售价应定为每件x元，获得利润y元，依题意得：
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2＋1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2＋9000，
∵x≥50，且500﹣10（x﹣50）＞0，
∴50≤x＜100，
当x＝70时，y取最大值9000，
∴销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
65．（1）见解析；（2）四边形BEHF是菱形．理由见解析.
【分析】（1）根据题意可得AB=CB，BE=BF，即可证≌，所以；
（2）由（1）可得DE=DF，即为等腰直角三角形，可得EF垂直BH，然后可证得OE=OF，即EF与BH互相垂直平分，所以四边形BEHF是菱形．
【详解】四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，，
≌
；
四边形BEHF是菱形；
理由：四边形ABCD是正方形，
，，，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，即，
又，
，
，
四边形BEHF是平行四边形．
∵BH⊥EF，
∴四边形BEHF是平行四边形．
66．（1）；（2）
【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：

解得：
直线为
把代入得：

把代入：
，

（2）设 轴，
则 由＜＜，



即当时，

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
67．（1）；（2）t=3；（3）
【分析】（1）证明△ECM∽△EBF，由相似三角形的性质可得出，求出CM的长，则可求出答案；
（2）由勾股定理求出AC＝EF＝10cm，根据相似三角形的性质求出EM的长，由矩形的性质得出，解方程可得出答案；
（3）过Q作QI⊥CD于点I，交DM的延长线于点I，证明△GCP∽△BAC，得出，可求出GC＝，同理△MIQ∽△FBE，由相似三角形的性质得出，则MI＝，IQ＝，由梯形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）∵AB∥CD，
∴∠ECM＝∠EBF，
∵∠E＝∠E，
∴△ECM∽△EBF，
∴，
∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴，
∴CM＝（cm），
依题意得QM＝t，
∴t＝QM＝CM＝，
∴当t＝时，CM＝QM；
（2）如图1所示，

∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴由勾股定理可得AC＝EF＝＝10（cm），
由（1）得△ECM∽△EBF，
∴，即，
解得（cm），
同理可得，
∴，
∴，
∵四边形PQNH为矩形，
∴PH＝QN，
即，
∴t＝3；
（3）如图2所示，过Q作QI⊥CD，交DM的延长线于点I，

∵GH⊥AB于点H，∠ABC＝90°，AB∥CD，
∴GH＝BC＝6，∠GCP＝∠CAB，∠CGP＝∠ABC＝90°，
∴△GCP∽△BAC，
∴，即，
∴GC＝，
同理△MIQ∽△FBE，
∴，
即，
∴MI＝，IQ＝，
∴GI＝GC＋CM＋MI＝，
CI＝CM＋MI＝，
∴S＝S梯形QIGC﹣S△CQI＝（IQ＋GH）×GI﹣＝（＋6）×（）﹣＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，梯形的面积计算，熟练掌握性质是解题关键．
68．
【分析】直接应用公式求解．
【详解】解：∵a=1，b=−3，c=−5，
∴Δ=b2−4ac=（−3）2−4×1×（−5）=29
∴原方程的解为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据特点选择公式法求解是关键．
69．（1）；（2）
【分析】（1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：

共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，
则所选的2名医护人员性别相同的概率是，
故答案为：；
（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：

共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
则P（2名医生来自同一所医院的概率）=.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
70．（1）；（2）开口向上，，．
【分析】（1）根据配方法将将二次函数的一般式解析式化为顶点式解析式；
（2）根据（1）中的顶点式解析式结合公式解题．
【详解】解：（1）


（2）由（1）知，该抛物线解析式是：；
，则二次函数图象的开口向上，
对称轴是直线，
顶点坐标是．
【点睛】本题考查配方法将二次函数的一般式解析式化为顶点式解析式、二次函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
71．(1)见解析
(2)20

【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出，由勾股定理得出，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，然后由菱形的性质即可得出答案．
(1)
证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形为菱形；
(2)
解：在中，，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理、锐角三角函数的定义、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
72．（1）二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）当商品降价5元时，商品获利4250元
【分析】（1）设二三月份的平均增长率为x，由题意可得，二月份的销售量为256（1+x）件；三月份的销售量为256（1+x）2件，又知三月份的销售量为400件，由此列出方程，解方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）设降价y元时销售商品获利为4250元，利用每件商品的利润×销售量=4250，列方程，解方程即可解决．
【详解】解：(1)设二三月份的平均增长率为x，
则有：256（1+x）2=400 ，
解得：x1=0.25， x2=-2.25（舍）.
答：二三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设降价y元时销售商品获利为4250元，
则有：（40-25-y）（400+5y）=4250，
解得：x1=-70（舍），x2=5.
答： 商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题和销售问题，解决本题的关键根据等量关系准确的列出方程．
73．(1)，；
(2)的面积为．

【分析】（1）先把B点坐标代数，求出m，确定反比例函数解析式，得出点A的坐标，然后利用待定系数法求出k、b的值，即可确定一次函数解析式；
（2）先利用一次函数解析式确定M点坐标，然后观察图象可得：所求三角形面积可分为同底的两个三角形，且高为点A、点B横坐标的绝对值，利用三角形面积公式求解即可得．
（1）
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∵点在反比例函数图象上，
∴．
∴点A的坐标为．
∵一次函数的图象经过点和点，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式；
（2）
解：∵一次函数与y轴的交点为M，
∴当时，，
即点．
∴
，
∴的面积为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积等，理解题意，采用数形结合思想是解题的关键．
74．（1）见解析；（2）见解析；（3）当四边形PECF是正方形时，此正方形的边长为
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形得出，根据，可得∠PEC+∠C=180°，∠PFC+∠C=180°，得出， 根据矩形判定定理即可得解；
（2）根据平行线性质得出， ，再根据相似三角形判定定理即可得解；
（3）根据四边形PECF是正方形时，设此正方形的边长为x，则，根据，得出即，解分式方程，注意检验即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，，
∴∠PEC+∠C=180°，∠PFC+∠C=180°，
∴，，
∴，
∴四边形PECF是矩形；

（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当四边形PECF是正方形时，
设此正方形的边长为x，则，
∵在矩形ABCD中，，，
∴，，
∵，
∴即，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴当四边形PECF是正方形时，此正方形的边长为．
【点睛】本题考查矩形的性质与判定，三角形相似判定与性质，正方形的性质，分式方程，掌握矩形的性质与判定，三角形相似判定与性质，正方形的性质，分式方程的解题步骤是解题关键．
75．(1)
(2)P点坐标为或
(3)

【分析】（1）将点，点代入，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求解，再证明，再分两种情况讨论：①如图，当时，△CAB≌△CPB（ASA），②如图，当时，△CAB∽△PCB，利用全等三角形的性质与相似三角形的性质可得答案；
（3）过点B在x轴下方作直线l与x轴成角为30°，与y轴交于点D．过点C作交于点N，交x轴于点M，证明，此时的值最小，再利用三角函数求解即可.
（1）
解：将点，点代入，
得，
∴，
∴；
（2）
解：令，则，
解得或，
∴，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
①如图，当时，△CAB≌△CPB（ASA），

∴，
∴，
∴；
②如图，当时，△CAB∽△PCB，

∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：△PBC与△ABC相似时，P点坐标为或；
（3）
解：过点B在x轴下方作直线l与x轴成角为30°，与y轴交于点D．
过点C作交于点N，交x轴于点M，

∵，
∴，
∴，
∴，
此时的值最小．
在Rt△OBD中，，，
∴，
在Rt△CND中，，，
∴，
∴的值最小为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的构建直角三角形证明，得到此时的值最小是解本题的关键．