四川省南充市阆中中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学（理科）试题

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一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 将某班的名学生编号为，，……，，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的一个号码为，则剩下的四个号码依次是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C ，，，D. ，，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据系统抽样方法确认样本间隔，号所在组，进而可以求出结果.
【详解】由题意可知样本间隔为，第一组为至，因此为第一组的号码，
则第二组抽取号码为，第三组抽取号码为，第四组抽取号码为，第五组抽取号码为，
故剩下的四个号码依次是，，，，
故选：B.
2. 某工厂利用随机数学对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本标号是（ ）
A. 623B. 368C. 253D. 072
【答案】B
【解析】
【分析】
从开始向右每次读取3位数，重复的或者不在编号内的3位数舍去，按照此规则读数可得结果.
【详解】依题意从开始向右每次读取3位数，重复的或者不在编号内的3位数舍去，则得到的前8个样本标号为：，则得到的第8个样本标号是.
故选：B
3. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将样本数据由小到大进行排列，根据定义求出，即可得出结论．
【详解】解：将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，
∴ ，中位数为，
众数为，
因此，，
故选：B．
4. 已知命题，命题，，则成立是成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解不等式可得，
对于命题，当时，命题明显成立；
当时，有：，解得：，
即命题为真时，
故成立是成立的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A ①③B. ①②C. ②③D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.
【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证方法进行判断．
6. 已知圆，圆，则这两个圆的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对两圆的方程相减求得公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意，圆，即，
圆，
两圆的方程相减，可得，即公共弦的方程为，
因为圆，故其圆心为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
故选：A.
7. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20)， [20，22．5)， [22．5，25)，[25，27．5)，[27．5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间的平均数是（ ）
（备注：纵轴数据从下往上依次为：0.02、0.04、 0.08、0.10、0.16）
A. 23.75B. 23.875C. 24.25D. 23.25
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率分布直方图计算平均数的方法是：每一组中间值乘以小矩形面积，然后求和﹒
【详解】平均数为：
+=23.875
故选：B
8. 方程|x|+＝2所表示的曲线大致形状为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用方程得到图像的对称性，再作时的图像，利用对称性即得结果．
【详解】由方程可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称．
由得
由得，
当时，方程转化成，作图如下：
在利用对称性即得图像D﹒
故选：D
9. 已知直三棱柱
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
10. 已知，是椭圆的两个焦点，椭圆上的两点，满足，，则（ ）
A. B.
C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据椭圆的定义可得，由勾股定理可得，解得，进而判断与椭圆的上顶点重合，可得，设，利用余弦定理可得求出，即求.
【详解】设，根据椭圆的定义有，所以，
由，，可得，
所以，解得.
所以，则点与椭圆的上顶点重合，
所以，，
设，则，
解得，故.
故选：C
11. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，
由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
12. 已知曲线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆的圆心坐标及半径，将有三个公共点转化为两条直线与圆的交点问题，即可求出结果.
【详解】，
，或，
圆心（2,3）到的距离，所以与相切于点（2,4），
与交于不同的三点，即要求与有2个交点，且不交于（2,4），
记为圆心（2,3）到的距离

又因为不经过（2,4）
故选：D
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是转化，将其转化为直线与圆的位置关系，即可得到结果，需要注意特殊点的考虑.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则岁年龄段应抽取______人
【答案】15
【解析】
【分析】利用扇形统计图和分层抽样的知识直接求解．
【详解】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，
采用分层抽样方法，则岁年龄段应抽取：．
故答案为15．
【点睛】本题考查岁年龄段应抽取人数的求法，考查扇形统计图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14. 已知p：，q：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____
【答案】##a≤1
【解析】
【分析】分类讨论解出p和q，由是的必要不充分条件得到是的必要不充分条件，然后利用必要不充分条件的集合包含关系进行求解﹒
【详解】或．
当时，或；
当时，．
因为是的必要不充分条件，
所以是的必要不充分条件，设对应集合对应集合，则AB．
当时，满足题意；
当时，或，所以．
综上，
故答案为：
15. 已知命题，命题，且为假命题，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【详解】显然命题是真命题.由于为假命题，故为假命题，即存在，使得，即，故.
【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，考查含有且、或、非等逻辑联结词的命题的真假性，考查恒成立问题和存在性问题的解法.首先判断出命题是一个真命题，然后结合为假命题，且命题是假命题，那么之中至少有一个是假命题，再结合辅助角公式可求得的取值范围.
16. 已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，，切点分别为，，若切线，的斜率分别为，，，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，最后数形结合可得的取值范围．
【详解】由题意可知，直线，，
因为直线，与圆相切，
所以，，
两边同时平方整理可得，
，
所以，是方程两个不相等的实数根，
所以．又，
所以，即．又，
所以，
即．
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.
三、解答题（本大题共70分）
17. 已知直线.
（1）若已知直线l不经过第二象限，求k的取值范围；
（2）已知点，，若点A、B到直线l的距离相等，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出直线过定点，再根据直线不经过第二象限，列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可.
（2）利用点到直线的距离公式，列方程即可求解.
【详解】（1）
令，则，直线恒过定点，即直线恒过第一象限，
由
且直线不经过第二象限，可得，
解得.
（2）根据可知点A、B在直线外，
所以，
解得或,
所以直线l的方程为：或
【点睛】本题考查了由直线得位置关系求参数的取值范围、点到直线的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
18. 已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（1）求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由命题为真命题可得出在恒成立，求出的最大值可得的范围；（2）求出命题，所对应的集合，因为是的充分不必要条件，所以，由条件列出不等关系求解可得的范围.
【小问1详解】
由题意命题：“，不等式成立”是真命题．
在恒成立，即，；
因为，所以，即，
所以实数的取值范围是；
【小问2详解】
由得，设，由得，设，
因为是的充分不必要条件；
所以，但推不出， ；
所以，即，
所以实数的取值范围是，．
19. 某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）；（2），；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样
20. 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，当边的面积为时，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意得，再由离心率以及关系求解椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得韦达定理，利用弦长公式表示出，计算点到直线的距离，根据面积公式求解.
【详解】（1）由题意知：，则，
椭圆的方程为：
（2）设
联立得：
，解得：
，
又点到直线的距离为：
所以，
解得：．
21. 已知椭圆：的长轴长为，左焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作直线，交椭圆于不同于的，两点，直线，的斜率分别为，，问是否为定值？若是的求出这个值.
【答案】（1）；（2）是，.
【解析】
【分析】（1）由求得后得椭圆方程；
（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，然后计算，当直线的斜率不存在时求出坐标，计算可得．
【详解】（1）由已知可得，，得.
故曲线的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，
得.
设，，，.
从而.
当直线的斜率不存在时，得，，
得.
综上，恒有.
22. 已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或.
（3）是定值，定值为.
【解析】
【分析】（1）根据圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得圆的半径，即可求得圆的方程；
（2）当斜率不存在时，得到，符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，结合时，利用弦长公式和圆心到直线的距离，列出方程求得的值，即可求解；
（3）由直线过点，可分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，分别求得的值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：设圆的半径为，且圆心坐标，
因为圆与直线相切，即圆与直线相切，
可得，所以圆的方程为.
【小问2详解】
解：当斜率不存在时，即直线与垂直，可得，
此时圆心到直线的距离为，可得，符合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，为的中点，
当时，可得，所以，
即圆心到直线的距离为1，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
【小问3详解】
解：因为，所以，
①当斜率不存在时，即直线与与垂直，可得 所以,
由，所以；
②当斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，解得，则，
所以，
综上可得，是定值，且这个定值为.

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