四川省攀枝花市第三高级中学校2021-2022学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

攀枝花市三中高2023届高二上期第三次月考数学（文科）试题

一.选择题（本大题共小题，每小题分，总分分）

1. 抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B. ， C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.

【详解】解：整理抛物线方程得

焦点在轴，

焦点坐标为

故选D

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即“，”.

故选：C.

3. 甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据茎叶图可计算得到甲、乙运动员得分的中位数，由此计算得到结果.

【详解】由茎叶图可知：甲运动员得分的中位数为；乙运动员得分的中位数为，

中位数之差的绝对值为.

故选：.

【点睛】本题考查利用茎叶图计算中位数的问题，属于基础题.

4. 为了解某城市的降水情况，根据历年数据，绘制了如图所示的一年中各月平均降水量（单位：）的柱形图.下列描述正确的是（    ）

A. 逐月比较，五月的月平均降水量的增加量最明显

B. 一年中的前四个月的平均降水量与最后四个月的平均降水量相同

C. 前九个月的月平均降水量成增加的趋势

D. 月月这四个月的平均降水量高于

【答案】D

【解析】

【分析】根据柱状图依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，逐月比较，六月的月平均降水量的增加量最明显，A错误；

对于B，一年中的前四个月的平均降水量小于最后四个月的平均降水量，B错误；

对于C，前九个月的月平均降水量成先增后减的趋势，C错误；

对于D，月和月的平均降水量为和，月和月的平均降水量均高于，则四个月的平均降水量高于，D正确.

故选：D.

5. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A. 至少有一个黑球与都是黑球

B. 至少有一个黑球与至少有一个红球

C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球

D. 至少有一个黑球与都是红球

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.

【详解】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；

对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；

对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；

对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.

故选：C．

6. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】本题可根据程序框图进行模拟运算，输入，然后根据程序框图中的关系式以及判定条件进行运算，即可得出结果.

【详解】模拟程序的运行：

输入，

不能被3整除，可得：；

27能被3整除，可得：；

9能被3整除，可得：，

此时，，终止循环，输出，

故选：A.

【点睛】本题考查通过程序框图进行运算并得出结果，主要考查循环结构框图，能否明确程序框图中运算的流程以及所包含的关系式是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.

7. 椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】设直线与椭圆交于，则，

两式相减得，

因为弦的中点坐标，所以 ，代入得到 ，

所以，即斜率 ，且过点，

所以直线方程是 ，化简为，

故选D.

8. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于的不等式组求解即可.

【详解】由不等式，得，

∵不等式成立的一个充分不必要条件是，

∴⫋，

则且与的等号不同时成立，解得，

∴的取值范围为，

故选：D．

【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.

9. 椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（   ）

A. 4 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆与双曲线定义解得再根据解三角形得面积.

【详解】由题意得，，

所以，因此为直角三角形，的面积是，选C.

【点睛】本题考查椭圆与双曲线定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.

10. 已知：椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别是，，点在椭圆上，且，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，利用向量的运算得出点坐标，将点坐标代入椭圆，即可得出离心率.

【详解】设，由题意可知，，

，

即，解得

点在椭圆上，，即，即

故选：A

【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，属于中档题.

11. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.

【详解】如图，直线与直线相交于点N，

由于PM是的平分线，且，即PM⊥，

所以三角形是等腰三角形，

所以，点M为中点，

因为O为的中点，

所以OM是三角形的中位线，

所以，

其中，

因为P与四个顶点不重合，设，则，

则，

所以，又，

所以，

∴的取值范围是.

故选：D

12. 已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则（    ）

A.  B. 4 C.  D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】先利用双曲线的离心率得到，写出直线的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.

【详解】由于双曲线的离心率为，故.

所以直线的方程为，

设，，

焦点坐标为，

则，

则

，

由于，故当时取得最小值，

此时；

当时取得最大值，此时.

则.

故选：B.

二.填空题（本大题共小题，每小题分，总分分）

13. 在个零件中，一级品个，二级品个，三级品个，现用分层抽样的方法从中抽取容量为的样本，则三级品应抽取的个数为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据抽样比直接计算即可.

【详解】三级品应抽取的个数为：个.

故答案：.

14. 阅读如图所示程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a的值为 _____ .

【答案】12；

【解析】

【分析】根据程序框图逐步计算，直至满足a被n整除时结束循环.

【详解】由程序框图得：

第一次运行：；第二次运行：；

第三次运行：，满足a被6整除，结束运行，输出.

故答案为：12

【点睛】本题考查循环结构程序框图，属于基础题.

15. 甲订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报纸送到甲家，而甲取报纸的时间在早上之间，则甲能得到报纸的概率为__.

【答案】

【解析】

【分析】求出全部结果所构成的区域以及甲能看到报纸构成的区域，由面积之比可得.

【详解】设送报人到达的时间为，甲取报纸的时间为，

记甲能得到报纸为事件，可以看成是平面中的点，

试验的全部结果所构成的区域为，

这是一个正方形区域，面积，

事件所构成的区域为，.

所以，

故答案为：.

16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①双曲线与椭圆有相同的焦点；

②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆；

③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅有3条.其中真命题的序号为__________．

【答案】①④

【解析】

【详解】①正确，②不正确，因为当时表示椭圆，当时表示线段，当时，无轨迹；③不正确，因为方程的两个根式分别是，1不能表示椭圆和双曲线的离心率，能表示椭圆的离心率；④正确，因为如果都是右支上的点，最短的弦长是垂直于轴的线段，长度为，所以只有一条，如果两点各是左右支的一个点，最短的弦长是顶点间的距离，即 ，所以有两条曲线，这样一共是3条，故正确的命题的序号是①④

三.解答题（本大题共小题，总分分）

17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

（1）长轴长为4，右焦点为F（1，0）；

（2）离心率e，椭圆过点（2，0）.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】（1）首先根据题意得到，，且焦点在轴上，根据解出即可得到椭圆的标准方程.

（2）分别讨论焦点在x轴和焦点在y轴的情况，根据题意求出，即可得到椭圆的标准方程.

【详解】（1）由题有，，且焦点在轴上，

所以，

则椭圆方程为；

（2）①当焦点在x轴上时，设方程为，

由于椭圆过点，则.

由e，得，则.

此时椭圆方程为；

②当焦点在y轴上时，设方程为，

由于椭圆过点，则，

又由，得，

此时椭圆方程为.

综上：椭圆方程为或

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，根据题意求出的值为解题的关键，属于简单题.

18. 设命题方程有两个不相等的负根，命题恒成立.

（1）若命题均为真命题，求的取值范围；

（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【详解】试题分析：（1）首先分析命题：根据方程有两个不相等的负根，可根据判别式和根与系数的关系列式，命题 ，当均为真命题时，即求两个命题取值范围的交集；（2）若满足条件，根据真值表可知一真一假，分真假，或假真解得的取值范围.

试题解析：（1）若命题为真，则有

，解得

若命题为真，则有，解得

若均为真命题，则，即.

即的取值范围是.

（2）若命题为假，命题为真，则一真一假.

当真假，则，解得；

当假真，则，解得；

所以的取值范围为.

19. 某校近期将举行秋季田径运动会，运动会设田赛和径赛两类比赛，该校对高一年级名学生的参与意向进行了调查（每位同学的参与意向只能选择田赛和径赛中的一个，不能都选，也不能都不选），其中男生人，女生人，所得统计数据如下表所示：（单位：人）

（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有把握认为“是否选择田赛与性别有关”？

（2）某位同学打算从径赛中的短跑，长跑，跨栏跑，接力跑，竞走五个比赛项目中选择两个项目参加.求该同学恰好没有选择中竞走比赛项目的概率？

（参考数据：，，）

附：；

【答案】（1）表格见解析，有把握；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据表中数据完善列联表，由列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解.

（2）列出基本事件个数，由古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】（1）

所以，有的把握认为“是否选择田赛与性别有关”

（2）依题意记短跑，长跑，跨栏跑，接力跑，竞走为，，，，.

从这五个比赛项目中选择两个项目参加，共有种结果，

它们是，，，，，，

，，，，

该同学恰好没有选择中竞走比赛项目的结果有，，

，，，，共有种.

因此由古典概率得其概率为.

故该同学恰好没有选择中竞走比赛项目的概率为.

20. 为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014～2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：

（1）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；

（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（1）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.

（参考公式：，）

【答案】（1）（2）粮食产量大约为18.7万亿吨.

【解析】

【分析】（1）由最小二乘法求出a,b的估计值，进而可得回归直线方程；

（2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果.

详解】（1）由已知数据，可得，

.

代入公式，经计算，得，

∴.

∴所求关于的线性回归直线方程为.

（2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得.

∴2019年该地区的粮食产量大约为18.7万亿吨.

【点睛】本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题，由最小二乘法先求出a,b的估计值，进而即可求解，属于基础题型.

21. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在准线上的投影，当为等边三角形时，其面积为，过抛物线的焦点且斜率为的直线与该抛物线相交于，两点，点是线段的中点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若焦点在轴上的椭圆经过点，求椭圆的短轴长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当为等边三角形时，，可求出的值，进而求出抛物线的方程；

（2）联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理得出，进而求出，代入椭圆方程从而可求的取值范围，得到椭圆的短轴长的取值范围.

【小问1详解】

依题意，设准线与轴交点为，取中点，

因为为在准线上的投影，所以，

当为等边三角形时，，

所以四边形为矩形，

所以，所以，

，

，，抛物线的方程为：；

【小问2详解】

由（1）知，直线

联立直线方程和抛物线方程可得：，其中，

设，，，

由韦达定理有：，，，

设椭圆的方程为：，

将代入椭圆方程有，

整理可得：，，

，，

，，

所以椭圆的短轴长的取值范围是.

22. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．

【答案】（1）（2）存在，，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）设椭圆的焦距为，根据的面积计算出，可设椭圆的标准方程为，再将点的坐标代入椭圆的标准方程，求出的值由此可求出椭圆的方程；

（2）设点，，，由，可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，代入，求出实数的值，即可求出定点的坐标；

（3）设点，，，由题意得出，化简得出，可求出正数的值，从而得出结论.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为，

将代入方程得，，

易知，所以，因此，椭圆的方程为；

（2）存在这样的点为，下面证明：

设，，，所以要使得，

即    ①；

联立，

由韦达定理得，，

代入可将①化简为，要使得式子关于恒成立，即此时，

所以点；

（3）设点，，，

因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得，

故，

因为，代入得．

而，，

而，所以，即线段的长度为定值．

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题.