四川省遂宁中学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（文）试题

遂宁中学2020～2021学年度上期二学段考试

高二文科数学

考试时间：120分钟          满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.

2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.

3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一、单选题(共60分，每题5分)

1. 直线的斜率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题将直线化成斜截式，可得答案.

【详解】由题将直线的化简可得，所以斜率为

故选D

【点睛】本题考查了直线的方程，一般式化为斜截式，属于基础题.

2. 圆(x－3) 2＋(y＋4) 2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(　　)

A. (x＋3)2＋(y－4)2＝1

B. (x－4)2＋(y＋3)2＝1

C. (x＋4)2＋(y－3)2＝1

D. (x－3)2＋(y－4)2＝1

【答案】B

【解析】

【分析】圆（x﹣3）2+（y+4）2=1的圆心A（3，﹣4），半径r=1，设圆心A（3，﹣4），关于直线x+y=0对称的圆心B（a，b），则直线x+y=0是线段AB的垂直平分线，由此求出点B的坐标，从而能够求出圆（x﹣3）2+（y+4）2=1关于直线x+y=0对称的圆方程．

【详解】圆（x﹣3）2+（y+4）2=1的圆心A（3，﹣4），半径r=1，

设圆心A（3，﹣4），关于直线x+y=0对称的圆心B（a，b），

则直线x+y=0是线段AB的垂直平分线，

∴AB的直线方程为：y+4=x﹣3，即x﹣y﹣7=0，

解方程组，得线段AB的中点坐标为（），

∴，解得a=4，b=﹣3，

∴圆（x﹣3）2+（y+4）2=1关于直线x+y=0对称的圆方程是（x﹣4）2+（y+3）2=1．

故选：B

【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线对称的圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求点关于直线l:对称的点的坐标，可以根据直线l垂直平分得到方程组，解方程组即得对称点的坐标.

3. 过两点的直线的倾斜角是，则的值为（    ）

A. 2 B.  C.  D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由题意利用直线的斜率的定义和公式可得，由此求得的值．

【详解】解：过两点，的直线的倾斜角是，

，，

故选．

【点睛】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题．

4. 如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（    ）

A.  B.  C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的底和高，求出面积即可.

【详解】由正方形的边长为，所以，又正方形是水平放置的一个平面图形的直观图，所以它对应的原图为平行四边形高为，底边长为1，


所以原图形的面积为.

故选：A

【点睛】本题主要考查斜二测画法，属于基础题.

5. 设、表示直线，、表示平面，则下列命题中不正确的是（    ）．

A ，，则 B. ，，则

C. ，，则 D. ，，则

【答案】B

【解析】

【分析】结合空间中线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】对于选项A，两个平面垂直于同一条直线，可推出两个平面平行，即A正确；

对于选项B，，，因为无法判断与的位置关系，所以不能推出，即B错误；

对于选项C，由可得，存在一条直线且，又，则，因为一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直，即C正确；

对于选项D，两条平行线中的一条垂直于某一个平面，则另一条也垂直于这个平面，即D正确.

故选：B.

【点睛】本题考查空间中线面、面面位置关系的有关判定，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于基础题.

6. 已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.

详解：因为直线与直线平行，

所以，又直线在轴上的截距为，

所以，解得，所以，

所以，故选A.

点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.

7. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．

考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．

8. 若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

【答案】A

【解析】

【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，再根据圆的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.

【详解】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以的直线方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交,故选A.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.

9. 如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

作出异面直线与所成的角，由此求得异面直线与所成角的大小.

【详解】如图延长到，使得，

易知即为所求异面直线所成角，

不妨设，又，可证为等边三角形，

于是所求异面直线所成角为.

故选：A

【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.

10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，E，F分别是AB1，BC1的中点．有下列结论：

①EF⊥BB1；

②EF∥平面A1B1C1D1；

③EF与C1D所成角为45°；

④EF⊥平面BCC1B1．

其中不成立的是（　　）

A. ②③

B. ①④

C. ③④

D. ①③

【答案】C

【解析】

【分析】观察长方体的图形，连，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断①②④正误；异面直线所成的角判断③的正误．

【详解】连，则交于,且为中点，

对于①，可得，由平面,可得，可得,故①正确；

对于②，,平面平面所以平面，故②正确；

对于③，∵是等边三角形，∴，∴与所成角就是，故③不正确；

对于④，不垂直平面,又,所以不垂直于平面；故④不正确．

故选：C．

【点睛】本题考查异面直线的位置关系判定，直线与平面平行和垂直的判定，异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题．

11. 在平面直角坐标系内，已知，，动点M满足，且M在直线上.若满足条件的点M是唯一的，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出动点M的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a即可.

【详解】解：设动点，由题意得，

化简可得：，

∴动点M的轨迹方程为.曲线C是以为圆心，2为半径的圆，

且M在直线上，

故直线与圆相切，且切点为，

由，得，

∴，

故选：A.

【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.

12. 三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题中条件可以通过补成长方体的方式得到外接球的半径.

【详解】三棱锥中，为等边三角形，，

，，

以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，

则长方体的外接球也是三棱锥外接球，

长方体的对角线为，球直径为，半径为，

因此，三棱锥外接球的表面积是，故选B.

【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题(共20分每题5分)

13. 经过点作直线与连接，的直线垂直，则直线的方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用斜率公式求得，由相互垂直的直线斜率之间的关系求得直线的斜率，再利用点斜式可得结果．

【详解】．

直线与连接，的直线垂直，

．

直线的方程为，即．

故答案为．

【点睛】本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2）.

14. 若变量、满足约束条件：，则的最大值是______.

【答案】

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，可得点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般通过平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

15. 若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据题意，利用两圆的位置关系求出线段AB长度的最大值.

【详解】圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，

圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4圆心为C2（3，－4），半径r2＝2，

∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，

∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查的是圆与圆的位置关系，利用几何性质解题是关键，是基础题.

16. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、、分别是棱、、的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于；

②截面是一个五边形；

③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．

其中，所有正确结论的序号是______．

【答案】②③

【解析】

【分析】取的中点，的四等分点，顺次连接、、、、，则平面即为过、、的平面截四棱锥所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误.

【详解】取的中点，的四等分点，顺次连接、、、、，

则平面即为过、、的平面截四棱锥所得截面，如下图所示：

在四棱锥中，底面是正方形，底面，，

、分别为、的中点，且，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

为的中点，为的中点，，

同理可得，且，

平面，平面，，

四边形为正方形，则，

，平面，平面，，

则，所以，四边形为矩形，其面积为，

设，，则为的中点，为的中点，

，，

平面，平面，平面平面，，且，

的边上的高为，

的面积为.

所以，截面面积为，命题①错误；

该截面是一个五边形，命题②正确；

由图可知，截面与四棱锥侧棱、、相交，命题③正确.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

三、解答题(共70分，17题10分，其余每题12分)

17. 已知直线l经过点.

（1）若直线l平行于直线，求直线l的方程；

（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

分析】

（1）由平行，可设所求直线方程为，代入已知点坐标可得；

（2）分截距为0和截距不为0两种情况，截距不为0时可设直线方程为．

【详解】（1）由题意设直线方程为，

∵直线过点，∴，，

所以直线方程为．

（2）当截距为0时，设方程为，则，，直线方程为，

当截距不为0时，设直线方程为，则，，直线方程为，即．

∴直线方程为或．

【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线位置关系，在截距相等问题中要注意分类，分截距为0和不为0两种情形．

18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，．

（1）证明：；

（2）若面面，，，，求到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于，连接，推导出，面，由此能证明．

（2）推导出是三棱锥的高，设到平面的距离为，根据，即可求出结果．

【详解】（1）连接交于，连接，

在菱形中，，是的中点，

又因为，所以，又，

所以面，

又面，所以．

（2）因为面面，面面面，，面，

所以面，即是三棱锥的高．

依题意可得，是等边三角形，所以，，

在等腰，，，

经计算得，，

等腰三角形的面积为，

设点到平面的距离为，

则由，得，解得，

所以到平面的距离为．

【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.

19 已知直线，.

（1）证明:直线过定点；

（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

【分析】（1）将直线变形，然后令前系数0，可得结果.

（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.

【详解】（1）由

则直线，

令且

所以对任意的，直线必过定点

（2）由直线//，所以可知直线，

则直线，

点到直线距离为

又，所以

【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.

20. 如图，在直三棱柱中，D是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，，，求几何体的体积

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）连接，交于点，连接，则．由此能证明平面．

（2）几何体的体积，由此能求出结果．

【详解】证明：（1）连接，交于点，

则点是及的中点．

连接，则．

因为平面，平面，所以平面．

解：（2），，，

几何体的体积：

．

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

21. 已知点，圆.

（1）若点､点都为圆上的动点，且，求弦中点所形成的曲线的方程；

（2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】（1）设，中点为，在中，可得，再由弦长公式可得，代入点的坐标整理得答案；

（2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，即，利用弦长公式及点到直线的距离公式列式求得值，则直线方程可求．

【详解】解：（1）设，中点为，

在中，，

在圆中，由弦长公式可得，

，

即，

整理得：．

该圆的圆心到圆圆心的距离，而．

曲线在圆内，符合要求，

即曲线的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为，即，

由弦长公式可得：，则，

解得：，

直线方程为，

综上，直线的方程为或．

【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，直线与圆位置关系的应用，还涉及圆的弦长、点到直线的距离公式和直线方程，考查计算能力．

22. 已知圆C：

（1）若平面上有两点A(1 , 0)，B(-1 , 0)，点P是圆C上的动点，求使取得最小值时点P的坐标.

(2) 若是轴上的动点，分别切圆于两点

①若,求直线的方程；

②求证：直线恒过一定点.

【答案】（1）；(2)①；②.

【解析】

【分析】(1)根据圆的标准方程,设出点P的坐标,然后利用两点间距离公式,得到的表达式,即可求得P点的坐标. (2)①确定为等边三角形,即可求直线QC的方程; ②与圆联立得:,即可证明结论.

【详解】（1）设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知

==2

要使取得最小值只要使最小即可

又P为圆上的点，所以＝（为半径）

∴此时直线

由解得或（舍去）∴点P的坐标为

 (2)①设因为圆的半径， 而则，

而为等边三角形

即

所求直线的方程：

②则是以为直径的圆上，设则

以为直径的圆的方程：即

与圆：联立，消去得，故无论取何值时，直线恒过一定点.

【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

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