四川省广安代市中学校2021-2022学年高二上学期12月月考数学（理）试卷

代市中学高2020级第三学期12月月考

理科数学 试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．椭圆的长轴长为（   ）

A．              B．               C．             D．

2．抛物线的准线方程为（   ）

A．           B．           C．            D．

3．直线垂直于直线，且在y轴上的截距为，则直线l的方程是（   ）

A．           B．           C．           D．

4．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（   ）

A．①简单随机抽样，②分层抽样           B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①②都用简单随机抽样                 D．①②都用分层抽样

5．在空间直角坐标系中，点在平面上的射影到坐标原点的距离为（   ）

A．           B．           C．           D．

6．已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（   ）

A．   B．   C．   D．

7．已知是椭圆上的一点，分别是椭圆C的左右焦点，若线段的中点在轴上，则为（   ）

A．           B．            C．           D．

8．在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲､乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图（如右图），则下列关于甲､乙两省新增确诊人数的说法，不正确的是（   ）

A．甲省的平均数比乙省低                   B．甲省的方差比乙省大

C．甲省的中位数是27                      D．乙省的极差是12

9．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（   ）

A．2                    B．4                     C．3                D．5

10．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（   ）

A．1                    B．                   C．2               D．4

11．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（   ）

A．           B．           C．           D．

12．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（   ）

A．                 B．                  C．           D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某工厂生产，，三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型产品有12件，那么样本容量为___________。

14．若点是圆的弦AB中点，则直线AB方程是__________。

15．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，数据如下：

则可估计这批产品的质量指标的平均数为______。

16．下列四个命题中，正确的序号是______。

①设，则圆与内切.

②平面内与两定点，距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线.

③平面内与两定点，距离之和等于1的点的轨迹为椭圆.

④直线与直线的距离是.

三、解答题（本大题共6小题，17小题10分，其余每小题12分，共70分）

17．在直角坐标系 中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求直线被曲线截得的弦长。

18．某高校从大二学生中随机抽取200名学生，将其期末考试的《中西法律文化》成绩（均为整数）分成六组，，，后，得到如下频率分布直方图

（1）求成绩在内的频率；

（2）根据频率分布直方图，求样本中200名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数、中位数（结果保留到0.1）。

19．如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面⊥平面。

20．已知圆，圆．

（1）证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；

（2）已知点，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形。

21．己知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l的斜率为1，求弦的长；

（3）若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程。

22．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的方程及点的坐标；

（2）求的最大值。

答案

BACBC  CDCBC  AB 

13．60

14．

15．44

16．②④

17. 【详解】

（1）由直线的参数方程( t为参数可得其普通方程为：

；

由曲线的极坐标方程得，所以曲线的直角坐标方程为：

.

（2）由（1）得曲线：，圆心到直线的距离为：，

所以直线被曲线截得的弦长为：.

18．

（1）0.3

（2）75分， 73.3分

【分析】

（1）利用各组的频率和为1求解即可，

（2）由频率分布直方图可知众数为75分，由频率分布直方图可判断中位数在内，设中位数为x分，则有，从而可求出中位数

（1）

由题意，知所求频率为.

（2）

由频率分布直方图可知众数为75分.

由（1）知.

因为前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，

设中位数为x分，则有，

解得，所以中位数为73.3分.

所以样本中200名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数为75分，中位数为73.3分

【详解】

（1）连接交于点,连接．

四边形是矩形，是的中点．

又为的中点，．

平面，平面，平面

（2）面，面，．

是矩形，．

而，，平面平面

又平面．平面平面．

20．

（1）证明见解析；

（2）轨迹方程为，P的轨迹是除去，两点的双曲线

【分析】

（1）求出圆A与圆B的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断证出两圆相交，两圆的方程作差即可求出圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；

（2）设，由题意得，，化简即得动点P的轨迹方程，并可知轨迹图形．

（1）

圆A，圆心，半径，

圆B，圆心，半径，，

∴，所以圆A与圆B相交．

圆，圆，

两式相减，得．

（2）

设，由题意得，，

化简得，P的轨迹方程为，所以P的轨迹是除去，两点的双曲线．

21．

（1）

（2）

（3）

【分析】

(1)根据给定条件直接求出半焦距c，b，a即可得解.

(2)将直线l与椭圆C的方程联立，借助弦长公式计算即得.

(3)设出点E，G坐标，利用点差法求出直线的斜率即可求解作答.

（1）

依题意，椭圆C的半焦距，而，则，

所以椭圆C的方程为：.

（2）

设，

依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，

解得，因此，，

所以弦的长是.

（3）

显然，点在椭圆C内，设，因E、G在椭圆C上，

则，两式相减得：，

而Q是弦的中点，即且，则有，

于是得直线的斜率为，直线的方程：，即，

所以直线的方程是.

22．（1），；（2）9．

【分析】

（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．

【详解】

（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，

∴23，

解得：p＝2，

∴抛物线C的方程为y2＝4x，

∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，

∴n2＝4×2＝8，

由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．

（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，

代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，

∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，

x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，

x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，

（），（x2﹣2，），

（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）

＝x1x2﹣2（x1+x2）+4

＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8

＝﹣8m2+8m+5

＝﹣8（m）2+9．

∴当m时，取最大值9．