四川省遂宁中学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题

遂宁中学2020～2021学年度上期二学段考试

高二理科数学

考试时间：120分钟          满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案。主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。

3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一、单选题(共60分，每题5分)

1．直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

2．圆(x－3) 2＋(y＋4) 2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(　　)

A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1    B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1

C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1    D．(x－3)2＋(y－4)2＝1

3．过两点的直线的倾斜角是，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．5

4．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（    ）

A．    B． 

C．    D．6

5．设、表示直线，、表示平面，则下列命题中不正确的是（    ）．

A．，，则 B．，，则

C．，，则 D．，，则

6．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（     ）

A． B． C． D．

7．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（     ）

A．          

B．

C．         

D．

8．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

9．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角为（    ）

A． B． 

C． D．

10．棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（    ）

A． B． C． D．1

11．已知点，若圆上存在点（不同于点），使得，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

12．三棱锥中，△ABC为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题(共20分，每题5分)

13．经过点作直线与连接，的直线垂直，则直线的方程为______．

14．若变量、满足约束条件：，则的最大值是______.

15．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是______．

16．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、、分别是棱、、的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于；

②截面是一个五边形；

③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．

其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题(共70分，17题10分，其余各题12分)

17．已知直线  经过点.

（1）若直线  平行于直线，求直线  的方程；

（2）若直线  在两坐标轴上的截距相等，求直线  的方程.

18．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，且．

（1）求证：//平面；

（2）求证：．

19．已知直线，.

（1）证明:直线过定点；

（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.

20．如图，四棱锥中，底面是菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

21．已知点，圆.

（1）若点､点都为圆上的动点，且，求弦中点所形成的曲线的方程；

（2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为，求直线的方程.

22．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.

（1）求圆面积的最小值；

（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；

（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.

遂宁中学2020～2021学年度上期二学段考试

高二理科数学试题

1．D         2．B      3．B      4．A        5．B       6．A

7．B试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，

8．A

9．A如图延长到，使得，

易知即为所求异面直线所成角，

不妨设，又，可证为等边三角形，

于是所求异面直线所成角为.

10．C

如图，易知直线平面，

故动点的轨迹所围成图形为，

因为为边长为的正三角形，

所以其面积，

11．A   在以为直径的圆上，

因为圆上存在点（不同于点），使得，

圆与圆相交，

，解得，

12．B

三棱锥中，为等边三角形，，

，，

以为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，

则长方体的外接球也是三棱锥外接球，

长方体的对角线为，球直径为，半径为，

因此，三棱锥外接球的表面积是

13．

14．

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，可得点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.

故答案为：.

15．16因为两圆有三条公切线，故与相外切，

又，故，，而，，

故，故.

故答案为.

16．②③

取的中点，的四等分点，顺次连接、、、、，

则平面即为过、、的平面截四棱锥所得截面，如下图所示：

在四棱锥中，底面是正方形，底面，，

、分别为、的中点，且，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

为的中点，为的中点，，

同理可得，且，

平面，平面，，

四边形为正方形，则，

，平面，平面，，

则，所以，四边形为矩形，其面积为，

设，，则为的中点，为的中点，

，，

平面，平面，平面平面，，且，

的边上的高为，

的面积为.

所以，截面面积为，命题①错误；

该截面是一个五边形，命题②正确；

由图可知，截面与四棱锥侧棱、、相交，命题③正确.

故答案为：②③.

17．（1）由题意设直线方程为，

∵直线过点，∴，，

所以直线方程为．

（2）当截距为0时，设方程为，则，，直线方程为，

当截距不为0时，设直线方程为，则，，直线方程为，即．

∴直线方程为或．

18（1）∵几何体为直三棱柱，

∴四边形为矩形．

设，则点O为的中点，

又∵，∴，即点E为的中点，

又∵D为的中点，∴在中，由三角形中位线定理得

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）作CF⊥AB，F垂足，因为，故F为中点，则

直三棱柱，故面ABC⊥面ABB1 A1，

则CF⊥面ABB1 A1，

因为ABB1 A1为正方形，故A1B⊥，又，面FCD,

故

19．（1）由

则直线，

令且

所以对任意的，直线必过定点

（2）由直线//，所以可知直线，

则直线，

点到直线距离为

又，所以

20．（1）证明：记，连接．

因为底面是菱形，

所以，是的中点．

因为，所以．

因为，

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）因为底面是菱形，，，

所以是等边三角形，即．

因为，所以．

又，，所以，

即．

方法一：因为是的中点，所以，

因为，所以，

所以和都是等腰三角形．

取中点，连接，则，且，

所以是二面角的平面角．

因为，且，

所以．

因为，

，

所以．

所以二面角的余弦值为．

方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，．

设平面的法向量为

由，得，

令，得.

同理，可求平面的法向量．

所以

．

所以，二面角的余弦值为．

21．解：（1）设，中点为，

在中，，

在圆中，由弦长公式可得，

，

即，

整理得：．

该圆的圆心到圆圆心的距离，而．

曲线在圆内，符合要求，

即曲线的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为，即，

由弦长公式可得：，则，

解得：，

直线方程为，

综上，直线的方程为或．

22．解：（1）由题意可设圆的圆心为，

则半径为（当且仅当时取等号），

所以圆的面积最小值为.

（2）由，知.

所以，解得.

当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；

当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.

所以，所求圆的方程为.

（3）设，，，又知，，

所以，．

显然，设，则．

从而直线方程为：，

与圆的方程联立，

消去，可得：，

所以，，即；

同理直线方程为：，

与圆的方程联立，

消去，可得：，

所以，，即．

所以；

．

消去参数整理得．    ①

设直线的方程为，代入，

整理得．

所以，．

代入①式，并整理得，

即，解得或．

当时，直线的方程为，过定点；

当时，直线的方程为，过定点

第二种情况不合题意（因为，在直径的异侧），舍去．

所以，直线过定点．