广东省广州市荔湾区广雅中学2016-2017学年高一上学期期中数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com广东广雅中学2016学年度上学期期中必修一模块考试

数学试卷（共4页）

一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

1．已知全集，集合，，则下图中的阴影部分表示的集合为（    ）．

 A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】，阴影部分表示的是，

，

则，

故答案为．

2．已知函数，则（    ）．

 A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

．

3．在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（    ）．

 A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】解：当时，函数，的图象为：

此时答案满足要求，

当时，函数，的图象为：

无满足要求的答案，

综上：故选．

4．下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（    ）．

 A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】对于，定义域为，非奇非偶，不满足题意；

对于，定义域为，函数为奇函数，不满足题意；

对于，定义域为，函数为偶函数，且在区间上单调递增，满足题意，故选；

对于，定义域为，非奇非偶，不满足题意．

5．已知，则下列区间中，有实数解的是（    ）．

 A．   B．   C．    D．

【答案】B

【解析】解：∵

，

∴在内方程有实数解，

故选：．

6．设，则，，的大小关系是（    ）．

 A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】因为当时，，

，，

所以．

故本题正确答案为．

7．为了得到函数的图像，可以把函数的图像（    ）．

 A．向左平移个单位长度   B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度   D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】∵函数化成：，

∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，

故选．

8．函数的反函数记为，则的单调区间是（    ）．

 A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】∵与互为反函数，

∴，．

则函数，，由，解得．

∴函数的单调增区间是．

故选：．

9．设集合，，若，则的取值范围是（    ）．

 A．   B．    C．    D．

【答案】A

【解析】根据题意，分析可得，集合是不等式的解集，

由可得，，

即，

又由，且，

则；

故选．

10．设，定义符合函数则（    ）．

 A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】解：对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然正确；

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】解：对于函数，

自变量需要满足且，即，

因此，本题正确答案是．

12．已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为__________．

【答案】

【解析】由函数为幂函数，

故有，

又幂函数在区间单调递增，故有，

所以．

故本题正确答案为．

13．已知函数在上是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为__________．

【答案】

【解析】本题主要考查函数的性质．

依题意，在上是奇函数，且当时，

，

当时，，

则，

得，

故填．

14．已知，满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】解：对任意的实数，都有成立，

可得函数图象上任意两点连线的斜率小于，说明函数的减函数，

可得：，

计算得出．

三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分分）

已知函数，．

（）当时，求函数的最大值与最小值．

（）求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数．

【答案】见解析

【解析】（）当时，，

．

∴时，的最小值为；

时，的最大值为．

（）函数的图象的对称轴为，

∵在区间上是单调函数，

∴或．

故的取值范围是：或．

16．（本小题满分分）

计算下列各式的值

（）．

（）．

【答案】见解析

【解析】（）

．

（）

．

17．（本小题满分分）

已知函数为奇函数，其中是自然对数的底数．

（）求出的值．

（）用定义证明在上是增函数．

（）解关于的不等式．

【答案】见解析

【解析】（）∵为奇函数，

∴，

则．

（）任取，，，

，

，

即在上是增函数．

（），

，

．

第二部分能力检测（共50分）

四、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共10分．

18．某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．

【答案】

【解析】∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．

该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，

∴，

解得，

∴，

∴该食品在℃的保鲜时间．

故答案为：．

19．若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】作函数的图象如下，

∵函数有两个零点，

结合图象可知，．

五、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

20．（本小题满分分）

设是定义在上的函数，满足，当时，．

（）求的值，试证明是偶函数．

（）证明在上单调递减．

（）若，，求的取值范围．

【答案】见解析

【解析】解：（）∵

令得

∴．

令，，，，

令，则．

即是定义在上的偶函数．

（）∵，

∴，

设，，，

，

∵，

则，

即，

即在上单调递减．

（）∵，

∴，

∴，

∵为偶函数，且在上单调递减，

∴，

综上，的取值范围为．

21．（本小题满分分）

已知函数．

（）求函数的解析式．

（）若关于的方程有两个实根，其中一个实根在区间内，另一个实根在区间内，求实数的取值范围．

（）是否存在实数，使得函数的定义域为（其中）时，值域为，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．

【答案】见解析

【解析】（）∵，

∴，

则函数的解析式为．

（）∵，

∴，

∵方程有两个实根，且，，

∴．

则实数的取值范围为．

（），

∵，

∴，

则在单调递增，

即有两个不相同的根，

且，都大于等于，

，

，

，

，

且矛盾，

即不存在使其成立．

22．（本小题满分分）

已知二次函数（，，均为实数），满足，对于任意实数都有恒成立．

（）求的值．

（）求的解析式．

（）当时，讨论函数在上的最大值．

【答案】见解析

【解析】解：（）∵，

∴，

即．

（）∵，，

∴，，

∵，

∴，

恒成立，

则，

即的解析式为．

（），

如图所示：

则，，

则时，，

时，，

，．