海南省儋州市八一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

儋州市八一中学2019-2020学年第一学期高一期中考试试题

高一数学

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、单选题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.只有一项符合题目要求）

1.关于集合下列正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据数集表示的范围即可求解.

【详解】表示自然数集,表示实数集,表示正整数集,表示整数集.

对于,正确.

对于,集合与集合间不能用,所以错误.

对于,集合与集合间不能用,所以错误.

对于,不是整数,所以错误.

故选:

【点睛】本题考查了数集的表示范围,元素与集合关系,属于基础题.

2.，，则集合M的真子集个数（    ）

A. 32 B. 31

C. 16 D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数.

【详解】因，，

所以，即集合中有4个元素，

所以集合的真子集个数为.

故选.

【点睛】本题考查元素与集合的关系，根据集合元素个数求真子集的个数，属于简单题.

3.命题“”的否定为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据命题的否定的定义写出结论，注意存在量词与全称量词的互换．

【详解】命题“”的否定为“”．

故选D．

【点睛】本题考查命题的否定，解题时一定注意存在量词与全称量词的互换．

4.已知集合，，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求得集合，根据交集定义求得结果.

【详解】   

本题正确选项：

【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.

5.下列结论正确的是（   ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】A

【解析】

【分析】

结合不等式的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案.

【详解】对于选项A，由，可得，，则，故选项A成立；

对于选项B，取，则，故选项B不正确；

对于选项C，取，，故选项C不正确；

对于选项D，取，，故选项D不正确.

故答案为B.

【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生对基础知识的掌握.

6.下列命题中，是真命题的全称量词命题的是    （   )

A. 对于实数，有

B. 梯形两条对角线相等

C. 有小于1的自然数

D. 函数的图象过定点

【答案】D

【解析】

【分析】

由于命题A,B为假命题，故排除A,B，选项C含存在量词，故排除C.

【详解】选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.

【点睛】本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件.

7.已知集合，集合，则P与Q的关系是 (   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出每个集合中表示元素的范围，根据表示元素的范围判断两个集合的关系.

【详解】因为，所以 ，故；

又因为，所以，故；

则.

故选B.

【点睛】本题考查集合间的关系，难度较易.求解集合中元素的范围时，一定要注意集合的表示元素是哪一个.

8.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集是（ ）

A. {x |x≤－1或x≥} B. {x |－1≤x≤}

C. {x |x≤－或x≥1} D. {x |－≤x≤1}

【答案】D

【解析】

解：因为不等式（x＋5）（3－2x）≥6等价于2x2+7x-9≤0，（2x+9）(x-1) ≤0，

解得-≤x≤1，选D

9.若，则的最大值是（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对二次函数进行配方,即可根据的范围求得最大值.

【详解】由题意可知

因为,由二次函数的图像与性质可知

当时取得最大值为

故选:C

【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数最值的求法,属于基础题.

10.已知关于不等式，对任意恒成立，则有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将不等式转化为函数问题,求得函数的最小值即可求得的取值范围.

【详解】关于的不等式

令

则

即

所以

故选:D

【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题,将不等式转化为二次函数,求二次函数的最小值即可,属于基础题.

二、多选题（本题共3个小题，每小题4分，共12分.有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

11.设全集，集合，，则（   ）

A.  B.

C.  D. 集合的真子集个数为8

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用集合的交并补运算法则，以及集合真子集个数计算公式即可判断.

【详解】A选项：由题意，，正确；

B选项：，不正确；

C选项：，正确；

D选项：集合A的真子集个数有，不正确；

所以答案选AC.

【点睛】主要考察集合的交、并、补运算，以及集合子集个数问题：如果集合A含有n个元素，则：（1）子集个数：；

（2）真子集个数：；

（3）非空子集个数：；

（4）非空真子集个数：.

12.已知下列命题其中正确的有（    ）

A. “实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”

B. “三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题

C. “至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题

D. “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据命题的否定可判断A,根据全称量词的概念及命题真假判断,可知B;根据存在量词的概念及命题真假判断可知C;根据全称量词的概念可判断D.

【详解】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.

对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;

对于C, “至少存在一个实数，使得”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;

对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.

综上可知,正确命题为BCD

故答案为: BCD

【点睛】本题考查了全称量词、存在量词的概念及其命题真假的判断,属于基础题.

13.（多选题）设正实数满足，则（）

A. 有最小值4 B. 有最小值

C. 有最大值 D. 有最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】

选项A:把代入代数式中，再应用基本不等式可以知道本选项是正确的；

选项B:对等式直接运基本不等式，可以证明出本选项是错误的；

选项C:根据两个正数的算术平均数不大于这两个正数的平方平均数，可以证明出本选项是正确的的；

选项D:根据两个正数的算术平均数不大于这两个正数的平方平均数，可以证明出本选项是正确的的；

【详解】选项A：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；

选项B：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是不正确的；

选项C: 因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；

选项D: 因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的，故本题选ACD.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了重要不等式.一般来说对于是正实数来说产，有以下不等式成立：（当且仅当时取等号）.

三、填空题(本题共4个小题，每小题4分其中17小题每空2分，共16分.

14.集合，则_________

【答案】

【解析】

【分析】

根据数集表示形式可得集合U,由补集运算即可求得.

【详解】集合

即

因为

由补集运算可知

故答案为:

【点睛】本题考查了数集的表示形式,补集的运算,属于基础题.

15.已知集合,则_________

【答案】0或2

【解析】

【分析】

根据集合的互异性原则和交集运算,即可求得的值.

【详解】因为集合

则或

解得或或

由集合互异性可知时不成立

综上可得或

【点睛】本题考查了集合交集运算,集合互异性原则,属于基础题.

16.要使有意义，则的取值范围为_________

【答案】或

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义条件,可得的取值范围.

【详解】因为有意义

则

解不等式可得或

即的取值范围为或

故答案为: 或

【点睛】本题考查了二次根式有意义条件,一元二次不等式解法,属于基础题.

17.若不等式的解集为，则____________ ，___________.

不等式的解集是____________．

【答案】    (1).     (2).     (3).

【解析】

【分析】

根据不等式与方程的关系,将不等式解集两端值代入即可求得的值,代入后即可解一元二次不等式.

【详解】因为不等式的解集为

则的解为

即,解方程组可得

代入不等式可得

即

解得

所以不等式的解集为

【点睛】本题考查了不等式的解集与方程的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.

四、解答题（共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.已知集合，求

【答案】；或；或；或

【解析】

【分析】

根据集合交集、并集和补集的定义，可依次求解。

【详解】

或

或

或

或或

或

或

【点睛】本题考查了集合交集、并集和补集的运算，注意补集的边界等号取舍问题，属于基础题。

19.（1）已知，比较与的大小；

（2）已知，求的最小值.

【答案】（1）（2）4

【解析】

【分析】

（1）利用作差法,将两式,结合即可比较大小.

（2）将不等式构造成基本不等式形式,结合自变量取值范围,即可求得最小值.

【详解】(1)

(2)

由基本不等式可得：

当且仅当即时，等号成立.

此时，取得最小值4

【点睛】本题考查了利用作差法比较整式的大小,基本不等式在求最值中的应用,属于基础题.

20.已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）化简集合，再进行集合的交、并运算；

（2）由“”是“”的必要不充分条件，得到集合，再利用数轴得到关于的不等式.

【详解】（1）当时，，集合，

所以.

（2）因为，所以，，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以，

所以解得：.

【点睛】利用数轴发现关于的不等式时，要注意端点的取舍问题.

21.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（1）求的取值范围；

（2）若是方程的两个根，且，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根时满足,代入即可求得的取值范围.

（2）将完全平方式展开,再配方成韦达定理的形式,结合一元二次方程韦达定理表达式,即可求得的值.

【详解】（1）由题意可得：

解得

的取值范围为

（2）一元二次方程

是方程的两个根

解得

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式关系,韦达定理的简单应用,属于基础题.

22.已知关于的函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值

【答案】（1）或（2）

【解析】

【分析】

（1）将代入函数解析式,根据,解一元二次不等式即可得不等式解集.

（2）根据不等式对任意的恒成立,分离参数,转化为求的最小值,结合基本不等式即可得解.

【详解】（1）当时，

∴原不等式为

对于方程

∴对于方程有两个不相等的实数根，

∴原不等式的解集为或

（2）要使对任意的恒成立

即对任意的恒成立

令

由基本不等式可得：

当且仅当即时，等号成立.

的最小值为

的最大值为

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,二次函数恒成立问题及基本不等式在求最值中的应用,属于基础题.

23.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【答案】(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.

【解析】

【分析】

（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.

【详解】(1)设所用时间为t＝ (h)，

y＝×2×＋14×，x∈[50，100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]

(或y＝＋x，x∈[50，100]).

(2)y＝＋x≥26，

当且仅当＝x，

即x＝18时等号成立

故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.

【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.