海南省临高中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

2019届高一上学期期中测试数学试题

一、单选题：（每题只有一个选项正确，每题4分，共40分）

1. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁UA)∪(∁UB)等于(　　)

A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7}

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.

【详解】由补集的定义可得：∁UA={1,3,6},∁UB={1,2,6,7},

所以(∁UA)∪(∁UB)={1,2,3,6,7}.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查补集的运算，并集运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2. 已知集合，，则（）

A.  B. 或}

C.  D. 或}

【答案】C

【解析】

【分析】

求出A中不等式的解集，找出两集合的交集即可

【详解】由题意可得，，所以.故选C.

【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

3. 全称命题“”的否定是 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求得，得到答案.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，

可得命题“”的否定为“”，

故选B.

【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的关系，其中解答中熟记全称命题和特称命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

4. “”是“”的（ ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A．

考点：充分必要条件．

5. 已知，那么（   )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式性质判断A,B,D,利用函数单调性判断C即可

【详解】根据不等式性质，，则，故A错；，则B错；

单调递增，则，故C错；

，，不等式两边同乘以，得，正确

故选D

【点睛】本题考查不等式的性质，准确推理是关键，是基础题

6. 已知正数满足，则的最小值是    (　 　)

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

因为为定值，所以可以借助基本不等式求的最小值.

【详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为C.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

7. 函数的定义域是（　　）

A. {x|x＞0} B. {x|x≥0} C. {x|x≠0} D. R

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知函数的定义域可得，求解不等式组得答案．

【详解】要使f(x)有意义，则满足，得到x>0.

故选A.

【点睛】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于抽象函数则要注意：①对在同一对应法则f 下的量所要满足的范围是一样的；②函数的定义域应求x的范围．

8. 已知函数 ，则

A. 0 B. –2 C. –1 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

分段函数是指在定义域不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x＞0}，而f（5）=﹣2∈{x|x≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果.

【详解】因为5＞0，代入函数解析式f（x）=得f（5）=3﹣5=﹣2，

所以f（f（5））=f（﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式f（x）=得f（﹣2）=（﹣2）2+4×（﹣2）+3=﹣1

故选C．

【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．

9. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据函数是偶函数，得，再由在上是增函数即可比较、、大小.

【详解】因为函数是偶函数，所以，又因为函数在上是增函数，且，所以，即.

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小问题，属基础题.

10. 2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为(   )

注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.

A. 7000元 B. 7500元 C. 6600元 D. 5950元

【答案】A

【解析】

【分析】

设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入.

【详解】设此人的工资为元，纳税额为，则有，

当时，，故当（元）时，，

令，

则（元），故选A.

【点睛】本题考查分段函数的应用，属于基础题.

二、多选题：（每题有多个选项，把正确的都选出来，每题4分，共12分）

11. 已知＝{x∈R|x≥2}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2) {}⊆；(3)⊆；(4) .其中正确的是（    ）

A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)

【答案】AB

【解析】

【分析】

因为集合A中的元素是大于等于2的所有实数，而a＝π，所以元素a在集合M中，根据集合与元素及集合与集合之间的关系逐一判断各选项．

【详解】由于M＝{x∈R|x≥2}，知构成集合M的元素为大于等于2的所有实数，因为a＝π＞2，

所以元素a∈M，且{a}⫋M，同时{a}∩M＝{π}，所以（1）和（2）正确，

故选：AB．

【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系，解答的关键掌握概念，属基础题．

12. 已知，若f(x)=1，则的值是（    ）

A. －1 B.  C.  D. 1

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式按x的范围分3种情况讨论，求出x的值，综合即可得答案．

【详解】根据题意，f（x），

若f（x）＝1，分3种情况讨论：

①，当x≤﹣1时，f（x）＝x+2＝1，解可得x＝﹣1；

②，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝x2＝1，解可得x＝±1，

又由﹣1＜x＜2，则x＝1；

③，当x≥2时，f（x）＝2x＝1，解可得x，舍去

综合可得：x＝1或﹣1；

故选：AD．

【点睛】本题考查分段函数解析式的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

13. 下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是（    ）

A.  B. y=1-x2 C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；

对于B，y＝1﹣x2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；

对于C，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；

对于D，y＝2x2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；

故选：AD．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

三、填空题：（每题4分，共16分）

14. 不等式的解集为______．

【答案】（－3，5）

【解析】

【分析】

解对应的一元二次方程，由三个二次的关系可得．

【详解】方程可化为（x+3）（x﹣5）＝0，

解得x＝﹣3或x＝5，则不等式的解集为（－3，5）

故答案为：（－3，5）．

【点睛】本题考查一元二次不等式的解集，注意二次项系数化正，属基础题．

15. 若函数是奇函数，则a=______．

【答案】

【解析】

为奇函数，且定义域为，

则，．

16. 已知x，，且，那么的最小值是______.

【答案】16.

【解析】

【分析】

，展开后，利用基本不等式求最小值.

【详解】

当，

即时等号成立，

的最小值是16.

故答案为：16

【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查利用1对原式进行变形求最值，属于基础题型.

17. 已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是______．

【答案】（0，2]

【解析】

【分析】

要满足题意，两段都要减，且当x＝1时的值，第一段要不小于第二段，解不等式可得．

【详解】由题意可得，

解得0＜a≤2

故答案为：（0，2]

【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及不等式组的解法，属中档题．

四、解答题：

18. 设全集为R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<6}，求A∪B，．

【答案】（2，7）， ＝（2，3）

【解析】

【分析】

利用定义进行交集、并集和补集的运算即可．

【详解】由题A∪B＝（2，7）

又{x|x<3或x≥7}，则＝（2，3）

【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，交、并、补集的混合运算，考查了计算能力，属于基础题．

19. 已知函数，．

（1）当时，求的最值；

（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；

【答案】（1）最小值是，最大值是35.；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；

（2）求出函数对称轴，得到关于的不等式，求出的范围即可．

【详解】解：（1）当时，，

由于，在上单调递减，在上单调递增，

的最小值是，又，故的最大值是35.

（2）由于函数的图像开口向上，对称轴是，

所以要使在上是单调函数，应有或，即或.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．

20. 已知函数，其中.

（1）若，求不等式的解集；

（2）求的最小值.

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

【详解】试题分析：（1）当时，不等式变为，解得，即可；（2）（当，即时取等号）.

试题解析：（1）当时，.不等式的解集为.

（2），

.，，

当且仅当即时取等号，，

故的最小值为3.

21. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；

（3）试判断函数在的最大值和最小值.

【答案】(1)；(2)函数在上是增函数，证明见解析；(3)最大值是，最小值是.

【解析】

试题分析：（1）由分母≠0求出函数的定义域；（2）判定函数的单调性并用定义证明出来；（3）由函数f（x）的单调性求出f（x）在[3，5]上的最值．

试题解析：（1）∵函数，；

∴.∴函数的定义域是；

（2）∵，

∴函数在上是增函数，

证明：任取，，且，

则

∵，

∴，，

∴

即，

∴在上是增函数.

（3）∵在上是增函数，

∴在上单调递增，

它的最大值是

最小值是.

22. 为了保护环境，某工厂在政府部门鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本(单位：万元)与处理量(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．

（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

【答案】（1）工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为吨时，每吨平均处理成本最少．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数，然后利用均值不等式解决问题

【详解】（1）当时，设该工厂获利，

则，

所以当时，，

因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损．

（2）由题易知，二氧化碳的平均处理成本，

当时，，

当且仅当，即时等号成立，

故取得最小值为，

所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．

【点睛】本题主要考察抽离出函数模型去解决问题，在做题的过程中采用均值不等式求解最值问题，在利用均值不等式时一定注意“一正”“二定”“三相等”条件的验证

23. f(x)是定义在上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)求证：f(x)是R上的减函数；

(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)最大值4，最小值-8

【解析】

【分析】

（1）赋值法：令x＝y＝0，可求得f（0），令y＝﹣x，可得f（﹣x）与f（x）的关系，由奇函数定义即可得证；

（2）利用单调性的定义：设x2＞x1，通过作差证明f（x2）＜f（x1）即可；

（3）由（2）知：f（x）max＝f（﹣2），f（x）min＝f（4），根据条件及奇偶性即可求得f（﹣2），f（4）．

【详解】(1)定义域为，

令，则，，

令，则，

，，是奇函数.

(2)设，

，

，，，即，

在上为减函数

(3)，

为奇函数，，

，在上为减函数，

.

【点睛】本题考查抽象函数奇偶性、单调性的证明及应用，抽象函数的奇偶性、单调性的判断一般采取定义解决，而求最值以及解抽象不等式往往借助单调性．

本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。

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