河北省石家庄市第二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

石家庄二中2017-2018学年第一学期期中考试

高一数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】 ，又则

故选C

2. 下列幂函数中过点，的偶函数是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以A不具有奇偶性，不对；

对于B，是过点，的偶函数，B对；

对于C，定义域为 不过点，不对；

对于D，过点，但它为奇函数，不对；

故选B

3. 已知，对应值如表：

则的值为（   ）

A.     B.     C.     D. 无法确定

【答案】C

【解析】=1，则则

故选C

4. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】因为令g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．
故选B．

5. 已知，，，则，，的大小关系是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】试题分析：因为，所以可得，故选择C

考点：比较大小

6. 函数的图象大致是（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)排除A，

当x>0时,，故y>0，

当x<0时,，故y>0，排除B，

当x趋向于无穷大时,x3增长速度不如3x−1增长的快，故所对应的y的值趋向于0，排除D.

只有C符合，

本题选择C选项.

7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】可变成① 或②∵f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴在（-∞，0）上也是增函数；
又f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0；∴解不等式组①变成 得-2＜x＜0，解不等式组②变成解得0＜x＜2；
∴原不等式的解集是（-2，0）∪（0，2）．
故选：B．

8. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】令g（x）=，因为函数在区间上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g（x）=在区间上是增函数，且g（x）>0在上恒成立；
故选D

9. 已知函数的定义域为，则的定义域为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为函数f（x）的定义域为[0，2]，所以0≤2x≤2，所以0≤x≤1，所以f（2x）的定义域为[0，1]，则函数的定义域是（0，1]，
故选：D．

10. 设偶函数在上递增，则与的大小关系是（   ）

A.     B.

C.     D. 不确定

【答案】B

【解析】因为函数f（x）=loga|x-b|，所以对定义图内任意实数x都有f（-x）=f（x），
即loga|-x-b|=loga|x-b|，所以|-x-b|=|x-b|，所以b=0，
∴f（x）=loga|x|，
∵偶函数f（x）=loga|x|在（-∞，0）上单调递增，y=|x|在（-∞，0）上单调递减，
∴0＜a＜1，
∴1＜a+1＜b+3=3，
∴loga|a+1|＞loga3，
∴f（a+1）＞f（b+3）；
综上，f（a+1）＞f（b+3）．
故选：B．

11. 已知函数若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

故实数k的取值范围是（1，2）；
故选：D．

点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．

12. 定义一种运算令 （为常数），且，则使函数的最大值为3的的集合是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】y=3+2x-x2在x∈[-3，3]上的最大值为3，所以由3+2x-x2=3，解得x=2或x=0．所以要使函数f（x）最大值为3，则根据定义可知，当t＜1时，即x=2时，|2-t|=3，此时解得t=-1．
当t＞1时，即x=0时，|0-t|=3，此时解得t=3．故t=-1或3．
故选C．

点睛：本题主要考查新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的分析能力，根据定义，先计算y=3+2x-x2在x∈[-3，3]上的最大值，然后利用条件函数f（x）最大值为4，确定t的取值即可．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知函数恒过定点，则此定点为__________.

【答案】

【解析】令得 此时 故此定点为

故答案为

14. 是偶函数，定义域为，则的值域是__________.

【答案】

【解析】∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，
∴b=0，且a-1+2a=0
解得b=0，∴f（x）= x2+1，定义域为，由二次函数的性质知，当x=0时，有最小值1，当x=或-时，有最大值 ∴f（x）的值域为

故答案为

15. 已知，，若有，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】∵f（x）=ex-1，在R上递增，∴f（a）＞-1则g（b）＞-1；∵g（x）=-x2+4x-2=-（x-2）2+2≤2，又f（a）=g（b），∴g（b）∈（-1，2]，即-b2+4b-2＞-1，整理，得 b2-4b+1＜0解得

故答案为

16. 设函数则满足的的取值范围是__________.

【答案】

【解析】令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t-1=2t，
由g（t）=3t-1-2t的导数为g′（t）=3-2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t-1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a-1≥1，解得a≥，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥

故答案为

点睛：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. ，.

（1）求，；

（2）求，.

【答案】(1)，；(2)，.

【解析】试题分析：（1）由，则，故，而，

试题解析：

（1）由，则，故，

而，

，

等价于则

即.

（2），因为.　

18. 设函数若，.

（1）求函数的解析式；

（2）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意可得16-4b+c=3，4-2b+c=-1，解方程可得b，c，进而得到f（x）的解析式；（2）由分段函数的画法，可得f（x）的图象，进而得到定义域、值域、单调区间．

试题解析：

（1）∵，，∴，，

解得，，∴

（2）图象见图所示：

由图像可知，函数的定义域为，值域为.

单调增区间为，单调减区间为和.

19. 已知函数（，），在区间上有最大值4，最小值1，设函数.

（1）求，的值及函数的解析式；

（2）若不等式在时有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)，，；(2).

【解析】试题分析：（１）因为对称轴x=1不在定义区间内，所以函数单调，根据单独递增与单独递减分类讨论，解得a,b的值，代人可得函数f(x)的解析式（２）先分离变量得,只需求出函数最小值，即得实数k的取值范围

试题解析：(1) 对称轴x=1.

由题意得：，或解得或

（舍去)故 所以

(2)不等式即即

设 所以 又因故

20. 已知是偶函数，是奇函数，且.

（1）求和的解析式；

（2）设（其中），解不等式.

【答案】(1)，；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2） 即，讨论当当时，即，对应方程的两个根为，，比较与-3的大小，进行讨论；

试题解析：

（1）由题意，即，又联立得，.

（2）由题意不等式即，

当时，即，解得；

当时，即，对应方程的两个根为，，

故当时，易知，不等式的解为；

当时，若，即时，不等式的解为或；

若，即时，不等式的解为；

若，即时，不等式的解为或；

综上所述，当时，不等式的解为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏.

21. 已知函数，其中为常数.　

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）当时，对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）根据函数单调性的定义证明即可（2）当时，，则 ，∴函数是奇函数，对于任意，不等式恒成立，等价为对于任意，不等式恒成立，即，在恒成立，即，在恒成立，设，则等价为即可.讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解.

试题解析：

（1）函数在上是增函数.

证明如下：

任取，，且，

则，

∵，∴，，，∴，

∴，∴函数在上是增函数.

（2）由（1）知函数在定义域上是增函数，当时，，则 ，

∴函数是奇函数，

则对于任意，不等式恒成立，

等价为对于任意，不等式恒成立，

即，在恒成立

即，在恒成立，

设，则等价为即可.

即，

当，则函数的最小值为，得，不成立，

当，则函数的最小值为，得，

当，则函数的最小值为，得.

综上.　

点睛：本题考查了用定义证明函数的单调性及不等式恒成立问题，在解决本题中恒成立时，移项得所以肯定先要研究函数的奇偶性，从而利用单调性去掉转化为二次不等式恒成立，找最值即得解.

22. 已知函数（）是偶函数.

（1）求的值；

（2）若函数，，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)存在得最小值为0.

【解析】试题分析：（1）根据函数为偶函数，则满足，即可求出的值；

（2）利用换元法令，则函数则可变为，结合二次函数的图像和性质，分类讨论，可得的值．

试题解析：（Ⅰ），

即对于恒成立．

（Ⅱ）由题意,

令

开口向上，对称轴

当，

，

当，

，（舍去）

当，，

（舍去）

存在得最小值为

考点：函数奇偶性的性质

【名师点睛】遇到函数奇偶性的问题，一定要熟记奇函数和偶函数的性质，只有了解这些性质才能更快更准确的解题．本题中题设为偶函数，则函数一定满足，从而可以求出所求参数的值．而第二问中，涉及到这类问题时，一般我们都采用换元法的方式去解题，但换元时一定要注意新元的取值范围，不然一定会出现错误，在解题中还要充分利用好二次函数的性质．