江苏省扬州中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题

江苏省扬州中学2018——2019学年度第一学期期中考试

高 一 数 学

（试题满分：150分  考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A.B.C.D.四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。

1．已知集合，，则         (     )

A．  B． C．  D．

2．函数f(x)=+5的值域为                                      （     ）

A．(5, +∞)        B．(-∞,5]          C．[5, +∞)            D．R

3．函数y=的定义域为                                 （    ）  

A．（，+∞）  B．［1，+∞    C．（，1  D．（－∞，1）

4．下列每组函数是同一函数的是                                  （    ）

A．f(x)=x-1, g(x)=()2              B．f(x)=|x-3|, g(x)=

C．f(x)=, g(x)=x+2               D．f(x)=, g(x)=·

5．已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（    ）

A.     B.      C.   D.  

6．函数的图象大致为                                (    )

7．设函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．  C． D．

8．若a>b>0，0<c<1，则                                           （   ）

A．logca< logcb        B．ca>cb          C．ac<ab         D．logac< logbc 

9．幂函数f(x)=(m2-m-1)xm²+2m-3在(0,+∞)上为增函数，则m的取值是      （    ）

A．m=2或m=-1         B．m=-1          C．m=2           D．-3≤m≤1

10．已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)（    ）

A. -10          B. 2         C. 0          D. 10

11．已知函数 ，g(x)=f(x)+x+a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是（    ）

A. [–1，0）    B. [0，+∞）    C. [–1，+∞）    D. [1，+∞）

12．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是(    )

A．          B．6         C．8          D．10

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．

13．若函数f(x)=m+，f(1)=2，则f(2)=__________．

14．设，且，则         ．

15．已知：函数为奇函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为__________．

16．已知函数g(x)=log2x,x∈(0,2) ，若关于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是__________________．

三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知集合，，

（1）求；

（2）求

18．已知函数是定义在上的奇函数，且．

（）求函数的解析式．

（）用函数单调性的定义证明在上是增函数．

（）判断函数在区间上的单调性；（只需写出结论）

19．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．

（1）求a,b的值；

（2）求f(log2x)的最小值及相应x的值．

20．已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．

（1）求f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性并给予证明；

（3）求使f(x)>0的x的取值范围．

21．对函数，若存在且，使得（其中A，B为常数），则称为“可分解函数”。

（1）试判断是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；

（2）若是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式。

22．已知M是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.

（1）已知函数，，判断与集合M的关系，并说明理由；

（2）是否存在实数a，使得，属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）对于实数a、b，用表示集合M中定义域为区间的函数的集合，定义：已知 是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为的“绝对差上界”，T的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.

江苏省扬州中学2018——2019学年度第一学期期中考试

高 一 数 学

（试题满分：150分  考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A.B.C.D.四个结论中，只有一个是正确的。

1．已知集合，，则(     )B

A．  B． C．  D．

2．函数f(x)=+5的值域为（     ）C

A．(5, +∞)        B．(-∞,5]          C．[5, +∞)            D．R

3．函数y=的定义域为                                      （    ） A 

A．（，+∞）  B．［1，+∞    C．（，1  D．（－∞，1）

4．下列每组函数是同一函数的是（   ）B

A．f(x)=x-1, g(x)=()2              B．f(x)=|x-3|, g(x)=

C．f(x)=, g(x)=x+2               D．f(x)=, g(x)=·

5．已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（    ）D

A.     B.      C.   D.  

6．函数的图象大致为(    )

答：A

7．设函数，则满足的x的取值范围是（    ）B

A． B．  C． D．

8．若a>b>0，0<c<1，则（     ）A

A．logca< logcb        B．ca>cb          C．ac<ab         D．logac< logbc 

9．幂函数f(x)=(m2-m-1)xm²+2m-3在(0,+∞)上为增函数，则m的取值是（     ）C

A．m=2或m=-1         B．m=-1          C．m=2           D．-3≤m≤1

10．已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)（    ）

A. -10          B. 2         C. 0          D. 10

【答案】B

11．已知函数 ，g(x)=f(x)+x+a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是（    ）

A. [–1，0）    B. [0，+∞）    C. [–1，+∞）    D. [1，+∞）

【答案】C

12．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是(    )

A．          B．6         C．8          D．10

答：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果．

13．若函数f(x)=m+，f(1)=2，则f(2)=__________．

14．设，且，则         ．

15．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________．

【答案】

16．已知函数g(x)=log2x,x∈(0,2) ，若关于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是_______．

解：考虑关于t 的方程t2+mt+2m+3=0

和t=|log2x| ．当零点t0位于不同区间时，对应的x0的个数如下表：

根据题意，必然有一个t1位于区间(0，1) ，考虑t2．

情形一t2=0，此时m=−，不符合题意．

情形二t2=1，此时m=−，符合题意．

情形三t2>1，此时t2+mt+2m+3|t=0>0，且(t2+mt+2m+3)|t=1<0,解得−<m<−．

综上所述，m 的取值范围是(−,−] ．

三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知集合，，

（1）求；

（2）求

解：（1）

（2）

18．已知函数是定义在上的奇函数，且．

（）求函数的解析式．

（）用函数单调性的定义证明在上是增函数．

（）判断函数在区间上的单调性；（只需写出结论）

解：（）∵是定义在上的奇函数，

∴，∴，

又∵，解得，

∴．

（）证明：设，

则，

∵，

∴，，，

∴，即，

∴在上是增函数．

（）函数在区间上单调递减．

19．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．

（1）求a,b的值；

（2）求f(log2x)的最小值及相应x的值。

解：（1）∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，

∴log2a＝1，∴a＝2. 又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.

∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.

（2）由（1）f(x)＝x2－x＋2.

∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋.

∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.

20．已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．

（1）求f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性并给予证明；

（3）求使f(x)>0的x的取值范围．

解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．

(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．

(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；

若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.

21．对函数，若存在且，使得（其中A，B为常数），则称为“可分解函数”。

（1）试判断是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；

（2）若是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式。

解答：（1）因为，所以A= -1，B=1

（2）因为是“可分解函数”，所以

==

所以有两个不同的实根，所以

解得：或

此时方程有两个不同的实根为，

且<代入解得

22．已知M是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.

（1）已知函数，，判断与集合M的关系，并说明理由；

（2）是否存在实数a，使得，属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）对于实数a、b，用表示集合M中定义域为区间的函数的集合，定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为的“绝对差上界”，T的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.

解：事实上，任取x1,x2∊[-,]，=|x1+x2||x1-x2|

由-≤x1≤，-≤x2≤，∴-1≤x1+x2≤1

则0≤|x1+x2|≤1，∴|x1+x2||x1-x2|≤|x1-x2|，

即|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立，f(x)属于集合M。

2. 若p(x)∊M，则|p(x1)-p(x2)|≤|x1-x2|对任意x1,x2∊[-1,+∞)都成立。

即|-|≤|x1-x2|，∴a≤|(x1+2)(x2+2)|，

∵ x1,x2∊[-1,+∞)，

∴|(x1+2)(x2+2)|≥1，∴|a|≤1，-1≤a≤1，

当a∊[-1,1]时，p(x)∊M；当a∊(-∞,-1)∪(1,+∞)时，p(x)不属于M。

3. 取p=-1009，q=1009，则对区间[-1009,1009]的任意划分：

和式|h(xi)-h(xi-1)|

≤|xn-xn-1|+|xn-1-xn-2|+…+ |x1-x0|

=xn-x0

=1009-（-1009）

=2018

=T。

集合M[-1009,1009]中的函数h(x)是“绝对差有界函数”， h(x)的“绝对差上确界”T=2018。