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北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试精练
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这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试精练，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.5 勾股定理与方程思想（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习了二次根式后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
2．如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2
6．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是( )
A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
8．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
10．如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；过点D作交AB的延长线于点F，若，，则CE的长为（ ）
A．13 B． C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，则AC=_________米．
12．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
13．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
14．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.
15．如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．
16．如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为__________cm．
17．《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
18．如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则______．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．
三、解答题
20．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
21．如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？
22．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
(1)求小岛两端A，B的距离．
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
23．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
24．在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
25．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
26．（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）．
27．如图，某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌，广告牌高．根据商场规定广告牌最高点不得高于地面20m，经测量，测角仪支架高，在F处测得广告牌底部点B的仰角为30°，在E处测得标语牌顶部点A的仰角为45°，，请计算说明，商家这样放广告牌是否符合规定？（图中点A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内）
28．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
(1)出发3s后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
参考答案
1．C
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
2．A
【分析】
根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
解：∵，，
∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，
∴∠BDF=∠DBF
∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，
解得：EF=，
故选：A．
【点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
3．C
【分析】
根据勾股定理列方程即可得出结论．
解：由题意知：
OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
[x-（5-1）]2+102=x2．即．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．
4．A
【分析】
先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，
∴AB＝（cm），
由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，
设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，
在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝（8−x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3cm，
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
5．C
【分析】
首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．
解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x−1）2＋52＝x2，
即x2﹣52＝（x﹣1）2
故选：C．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
6．A
【分析】
根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．
解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，
由勾股定理，得
FC=，
EC2=，EC2=，
∴=，
令DE=x，则EF=x+8，
∴，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
【点拨】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．
7．C
【分析】
设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解．
解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得：
52＋(x－1)2 ＝x2
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
8．B
【分析】
过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案．
解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°，
∵AD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°，
∴△DAE≌△ABC（AAS），
∴AE＝BC，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴AE＝CE，
设BC＝x，则AC＝2x，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴（2x）2＋x2＝22，
∴x＝，即BC＝，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．D
【分析】
由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．
解：∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，
∴DN2=（6-DN）2+4，
∴DN=，
∴CN=DN=，
故选：D．
【点拨】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
10．D
【分析】
先证明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，设CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理构建方程求解即可．
解：由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，
∴∠CEB=∠CDE，
∴CD=CE，
在△DBC和△DBF中，
，
∴△BDC≌△BDF（AAS），
∴CD=DF，BC=BF=5，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=，
设EC=CD=DF=x，
在Rt△ADF中，则有（12+x）2=x2+182，
∴x=，
∴CE=，
故选D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．
【分析】
首先根据BC，AC的比设出BC，AC，然后利用勾股定理列式计算求得a，即可求解．
解：∵AC∶BC=1∶7，
∴设AC=a，则BC=7a，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴1002=a2+(7a)2，
解得：a=10，
∴AC=10米．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
12．8
【分析】
作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．
解：如图，作交的延长于点，
则即为BC边上的高，
在中，，
在中,，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】
设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的长度为（尺）．
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】
设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可
解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15．6
【分析】
设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．
解：如图，
由题意知，，，
设，则,
在中，，
即，
解得，
因此旗杆在离底部6m位置断裂．
故答案为：6．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
16．4
【分析】
根据折叠可得BE=DE，设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中利用勾股定理可得32+（9-x）2=x2，解可得BE的长，进而得到AE的长
解：∵EF是四边形EFCD与EFGB的对称轴，
∴BE=DE，AE+BE=AE+DE=9（cm），
又∵AB=3cm，
设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5，
则BE=DE=5cm．
AE=9-5=4（cm），
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的．
17．
【分析】
设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，
∴ BC =7x -10，
又∵∠A =90°，
∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，
故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
18．
【分析】
设CE=x，然后可得关于x的方程，解方程即可得到解答．
解：设CE=x，则AE=BE=BC-CE=8-x，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2，
即62+x2=（8-x）2，
解方程可得：
故答案为．
【点拨】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握勾股定理及方程思想方法在几何中的应用是解题关键．
19．3或6
【分析】
分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝10，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
解：当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD′＝10−6＝4，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，
在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，
即x2＋16＝(8−x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．
20．这棵树在离地面6米处被折断
【分析】
设，利用勾股定理列方程求解即可.
解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．
21．大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方
【分析】
由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可．
解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．
在直角中，根据勾股定理得：，
∴，
在直角中，根据勾股定理得：，
∴．
又∵C、D两村到E点的距离相等，
∴，
∴，
所以，
解得．
∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
22．(1)33.4海里(2)
【分析】
（1）利用勾股定理求出CD，再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE，则AB可求；
（2）设BF＝x海里．利用勾股定理先表示出CF2，在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，利用勾股定理有CF2＋EF2＝CE2，即，解方程即可得解．
解：(1)在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，
由勾股定理可得（海里），
∵B是CD的中点，
∴（海里），
∴AB＝BE－AE＝50－16.6＝33.4（海里）
答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；
(2)设BF＝x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，
∴CF2＝CB2－BF2＝502－x2＝2500－x2，
在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，
∴CF2＋EF2＝CE2，即，
解得x＝14，
∴
答：值为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键．
23．
【分析】
设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【分析】
当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时t的值即可．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，
由题意得：BP＝tcm．，
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得，
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【点拨】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．
25．m＝1
【分析】
根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，再解方程即可．
解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，
（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，
解得：m＝1．
【点拨】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义．
26．（1）见分析；（2）见分析；（3）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长；8米
【分析】
(1)将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2中，拼成边长为的正方形即可．
(2)根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；
(3)根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理求出斜边的长即可．
解：（1）如图
（2）
=
=
∴
(3)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长．
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E
∵ AB⊥BC，DC⊥BC
∴∠B=∠C=∠DEB=90º
∴四边形BCDE是矩形
∴ED=BC=4，BE=DC=0.5
设AB=，则AD=+0.5，AE=-0.5
在RtΔAED中
AD2=AE2+ED2
(+0.5)2=(-0.5)2+42
解得：=8
答：旗杆的高为8米．
【点拨】本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
27．，不符合规定
【分析】
根据勾股定理即可求解．
解：设
且
解得：
商家这样放广告牌不符合规定．
【点拨】本题考查了勾股定理、一元一方程等内容，解决问题的关键在于理解题意，找到等量关系，列出方程．
28．(1)PQ＝cm(2)出发秒后△PQB能形成等腰三角形
(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【分析】
（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解：(1)当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．
(2)由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
(3)①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
专题1.5 勾股定理与方程思想（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习了二次根式后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
2．如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2
6．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是( )
A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
8．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
10．如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；过点D作交AB的延长线于点F，若，，则CE的长为（ ）
A．13 B． C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，则AC=_________米．
12．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
13．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
14．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.
15．如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．
16．如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为__________cm．
17．《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
18．如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则______．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．
三、解答题
20．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
21．如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？
22．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
(1)求小岛两端A，B的距离．
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
23．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
24．在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
25．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
26．（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）．
27．如图，某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌，广告牌高．根据商场规定广告牌最高点不得高于地面20m，经测量，测角仪支架高，在F处测得广告牌底部点B的仰角为30°，在E处测得标语牌顶部点A的仰角为45°，，请计算说明，商家这样放广告牌是否符合规定？（图中点A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内）
28．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
(1)出发3s后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
参考答案
1．C
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
2．A
【分析】
根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
解：∵，，
∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，
∴∠BDF=∠DBF
∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，
解得：EF=，
故选：A．
【点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
3．C
【分析】
根据勾股定理列方程即可得出结论．
解：由题意知：
OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
[x-（5-1）]2+102=x2．即．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．
4．A
【分析】
先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，
∴AB＝（cm），
由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，
设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，
在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝（8−x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3cm，
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
5．C
【分析】
首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．
解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x−1）2＋52＝x2，
即x2﹣52＝（x﹣1）2
故选：C．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
6．A
【分析】
根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．
解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，
由勾股定理，得
FC=，
EC2=，EC2=，
∴=，
令DE=x，则EF=x+8，
∴，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
【点拨】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．
7．C
【分析】
设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解．
解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得：
52＋(x－1)2 ＝x2
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
8．B
【分析】
过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案．
解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°，
∵AD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°，
∴△DAE≌△ABC（AAS），
∴AE＝BC，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴AE＝CE，
设BC＝x，则AC＝2x，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴（2x）2＋x2＝22，
∴x＝，即BC＝，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．D
【分析】
由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．
解：∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，
∴DN2=（6-DN）2+4，
∴DN=，
∴CN=DN=，
故选：D．
【点拨】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
10．D
【分析】
先证明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，设CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理构建方程求解即可．
解：由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，
∴∠CEB=∠CDE，
∴CD=CE，
在△DBC和△DBF中，
，
∴△BDC≌△BDF（AAS），
∴CD=DF，BC=BF=5，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=，
设EC=CD=DF=x，
在Rt△ADF中，则有（12+x）2=x2+182，
∴x=，
∴CE=，
故选D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．
【分析】
首先根据BC，AC的比设出BC，AC，然后利用勾股定理列式计算求得a，即可求解．
解：∵AC∶BC=1∶7，
∴设AC=a，则BC=7a，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴1002=a2+(7a)2，
解得：a=10，
∴AC=10米．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
12．8
【分析】
作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．
解：如图，作交的延长于点，
则即为BC边上的高，
在中，，
在中,，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】
设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的长度为（尺）．
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】
设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可
解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15．6
【分析】
设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．
解：如图，
由题意知，，，
设，则,
在中，，
即，
解得，
因此旗杆在离底部6m位置断裂．
故答案为：6．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
16．4
【分析】
根据折叠可得BE=DE，设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中利用勾股定理可得32+（9-x）2=x2，解可得BE的长，进而得到AE的长
解：∵EF是四边形EFCD与EFGB的对称轴，
∴BE=DE，AE+BE=AE+DE=9（cm），
又∵AB=3cm，
设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5，
则BE=DE=5cm．
AE=9-5=4（cm），
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的．
17．
【分析】
设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，
∴ BC =7x -10，
又∵∠A =90°，
∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，
故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
18．
【分析】
设CE=x，然后可得关于x的方程，解方程即可得到解答．
解：设CE=x，则AE=BE=BC-CE=8-x，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2，
即62+x2=（8-x）2，
解方程可得：
故答案为．
【点拨】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握勾股定理及方程思想方法在几何中的应用是解题关键．
19．3或6
【分析】
分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝10，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
解：当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD′＝10−6＝4，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，
在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，
即x2＋16＝(8−x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．
20．这棵树在离地面6米处被折断
【分析】
设，利用勾股定理列方程求解即可.
解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．
21．大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方
【分析】
由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可．
解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．
在直角中，根据勾股定理得：，
∴，
在直角中，根据勾股定理得：，
∴．
又∵C、D两村到E点的距离相等，
∴，
∴，
所以，
解得．
∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
22．(1)33.4海里(2)
【分析】
（1）利用勾股定理求出CD，再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE，则AB可求；
（2）设BF＝x海里．利用勾股定理先表示出CF2，在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，利用勾股定理有CF2＋EF2＝CE2，即，解方程即可得解．
解：(1)在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，
由勾股定理可得（海里），
∵B是CD的中点，
∴（海里），
∴AB＝BE－AE＝50－16.6＝33.4（海里）
答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；
(2)设BF＝x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，
∴CF2＝CB2－BF2＝502－x2＝2500－x2，
在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，
∴CF2＋EF2＝CE2，即，
解得x＝14，
∴
答：值为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键．
23．
【分析】
设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【分析】
当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时t的值即可．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，
由题意得：BP＝tcm．，
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得，
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【点拨】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．
25．m＝1
【分析】
根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，再解方程即可．
解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，
（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，
解得：m＝1．
【点拨】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义．
26．（1）见分析；（2）见分析；（3）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长；8米
【分析】
(1)将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2中，拼成边长为的正方形即可．
(2)根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；
(3)根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理求出斜边的长即可．
解：（1）如图
（2）
=
=
∴
(3)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长．
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E
∵ AB⊥BC，DC⊥BC
∴∠B=∠C=∠DEB=90º
∴四边形BCDE是矩形
∴ED=BC=4，BE=DC=0.5
设AB=，则AD=+0.5，AE=-0.5
在RtΔAED中
AD2=AE2+ED2
(+0.5)2=(-0.5)2+42
解得：=8
答：旗杆的高为8米．
【点拨】本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
27．，不符合规定
【分析】
根据勾股定理即可求解．
解：设
且
解得：
商家这样放广告牌不符合规定．
【点拨】本题考查了勾股定理、一元一方程等内容，解决问题的关键在于理解题意，找到等量关系，列出方程．
28．(1)PQ＝cm(2)出发秒后△PQB能形成等腰三角形
(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【分析】
（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解：(1)当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．
(2)由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
(3)①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
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