初中北师大版第一章 勾股定理综合与测试练习题

这是一份初中北师大版第一章 勾股定理综合与测试练习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.5 勾股定理与最值问题（专项练习）

本专题涉及到二次根式的知识，建议学习了二次根式后进行复习或选择性使用）
一、单选题
1．在△ABC中，AC＝4，AB＝5，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．20
2．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
3．如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（       ）

A．2 B． C．4 D．
4．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上的动点，将沿翻折，得到，则的最小值是（   ）

A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，当木棒的端点在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（       ）

A． B． C． D．
6．白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（     ）

A． B．4 C．5 D．―
7．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（        ）

A． B． C． D．
8．如图， 中，，，点在边上运动，则的最小值为（       ）

A．7.2 B．8.0 C．8.8 D．9.6
9．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（       ）.

A． B． C． D．
10．如图，在中，，，．点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，，则的周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（       ）．

A． B． C． D．4
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，AC＝，点E是AB上的点，将△BCE沿CE翻折，得到△B′CE，过点A作AF∥BC交∠ABC的平分线于点F，连接B′F，则B′F长度的最小值为（       ）

A．＋ B．﹣ C．＋ D．﹣
二、填空题
13．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．

14．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．

15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．

16．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为_____（计算结果不取近似值）．

17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是_____．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是_____．

19．如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为__________．

20．如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为______．

21．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

22．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．


三、解答题
23．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．








24．如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，BH=5．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积 ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A．C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为）
（1）用含x，m，n的代数式表示及；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，直接写出这样的x的取值范围．




25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：∠MBN＝30°，点A为射线BM上一点，且AB＝4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD．当AC⊥BN时，求BD的长．
小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，从而将问题解决（如图1）．

请回答：
(1)在图1中，小明得到的全等三角形是△　 　≌△　 　；BD的长为 　 　．
(2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC时，求BD的长；
(3)动点C在射线BN上运动，求△ABD周长最小值．



26．在边长为8的等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE = 2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．
（1）如图1，求证：∠AED = ∠BDF；
（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP，
①求∠DBP的度数；
②取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.







27．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12－x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB＋DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．

小结：本题利用代数式的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．回答下面问题：
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：求代数式的最小值；
（3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答）











参考答案
1．B【详解】试题解析：当AC、AB为直角边的三角形面积最大，
故面积为：×4×5=10.
故选B.
2．B【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故选B．

【点睛】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
3．D【分析】如下图，首先确定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知条件得出BD和BC＇的长度，然后根据勾股定理计算得出DC＇，即为DE＋CE的值最小值．
【详解】解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．


在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．
∴∠CBC＇＝90°．
∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，
∴BC＇＝BC＝2．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1．
根据勾股定理可得：DC＇＝＝．
故EC＋ED的最小值是．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．
4．C【分析】求的最小值，先求出EC的大小，再根据，求出的范围即可．
【详解】解析：连接
在△中，
可得．
在中，由勾股定理，
得．
由折叠可知，，
∴
故选C．

【点睛】本题主要考查了三角形三边的大小关系及勾股定理，正确掌握三角形三边的大小关系及勾股定理是解题的关键．
5．A【分析】连接AC，如果GJ长度最小，则有IG在长方体盒中最长，最长的长度为该长方体的体对角线AG，根据勾股定理求出AG的长即可解决问题
【详解】解：连接AC，

如果GJ长度最小，则有IG在长方体盒中最长，最长的长度为该长方体的体对角线AG，
∴当点I和点A重合时，IG最长.   
此时，在Rt△ABC中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得，

即：
所以，长度的最小值为
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解答本题的关键．
6．A【分析】作点A关于直线l的对称点，连接B交直线l于点P，此时AP＋PB最小，且的最小值为B的长度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小；
∵PA＝P，
∴AP＋PB＝P＋PB＝B，
过点B作BE⊥AC于点E，
∵AC⊥CD，
∴BECD，
又∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴CE＝BD＝2，
同理可得：EB＝CD＝3，
∵AC＝C＝3，
∴E＝2＋3＝5，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．

【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键．
7．C【详解】如图所示,先作点N关于AC的对称点N’,由两点之间线段最短可知BN’即为BM+MN的最小值,根据对称性可知N’C=NC=5, ∠ACB=∠CAN’=45°,即∠BCN’=90°,
在Rt△BCN’中,BN’=故答案为:

8．D【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．先根据勾股定理求出AD的长，再由三角形的面积公式即可得出BE的长，即可得出最小值．
【详解】

解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，即点Q运动到点E处的时候，为最小值．
∵AB=AC=10，BC=12
∴BD=BC=6
∴AD===8
∴BCAD=ACBE
即BE==9.6．
即BQ的最小值为9.6．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理. 熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
9．D【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接AP，

∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠EAF=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP•BC=AB•AC，
∴AP•BC=AB•AC，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=，
∴AM=．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值．
10．B【分析】根据在翻折及已知条件求得，，再根据的周长的最小时，P、D点重合即可求得周长.
【详解】∵在中，，且沿直线翻折，点B落在边上的点E处，
∴，，
∵，，
∴，
∴
,
∵的周长的最小时，P、D点重合，
∴，
故选B.
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，大胆猜测，合情推理科学论证
11．B【分析】由题意即可推出AE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可推出AE，EF，AF的长度，即可推出△AEF为等腰直角三角形，进行解答即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=2，BC=3，
∵F为CD的中点，
∴DF=BE=1，
∴EC=2，CF=1，
∴AE2=5，EF2=5，AF2=10，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2，
∴的最小值为．

故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，关键在于根据题意，推出AE=EF，AE2+EF2=AF2．
12．B【分析】根据勾股定理得出BC和CF，利用翻折的性质解答即可．
【详解】解：∵AB＝2AC，AC＝，
∴AB＝2，
在Rt△ACB中，BC＝，
而△BCE沿CE翻折得△B'CE，
∵AF//BC，
∴∠BCA＝∠CAF＝90°，∠CBF＝∠BFA，
∵∠CBF＝∠FBA，
∴∠FBA＝∠BFA，
∴AF＝AB＝2，
连接CF，

在Rt△ACF中，CF＝，
在△B'CF中，B'F＞CF﹣B'C，
∴B'F最小值为，
故选：B．
【点睛】此题考查翻折问题，关键是根据翻折的性质和勾股定理解答．
13．13【分析】根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD==5（cm），
在Rt△ABD中，AD==13（cm）．
故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．
故答案为：13．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．     11cm     12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
15．2﹣2【分析】取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根据勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【详解】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，

∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，
在Rt△ACG中，AG＝＝2
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2
【点睛】本题考查了动点问题，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式.
16．14﹣2【分析】首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．
【详解】解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT＝AB＝6；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，

∴CD＝AB＝6，
由轴对称可知，CT＝BC＝8，
在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，
则DT＝＝＝2，
∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．
故答案为：14﹣2．
【点睛】本题考查了勾股定理折叠变换的知识，解题关键是找到.AT最大值和最小值的两个极值点，注意翻折前后对应边相等．
17．【分析】连接DF，过E作EG⊥BD于G，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，利用勾股定理求得DE的长，即可得出EF+BF的最小值．
【详解】解：如图所示，连接DF，过E作EG⊥BD于G，
∵AC垂直平分BD，
∴FB＝FD，AB＝AD，
∴EF+BF＝EF+FD，
当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝30°，
又∵AB＝4，点E是AB的中点，
∴EG＝BE＝1，AH＝AB＝2，
∴BG＝，BH＝2，GH＝，
∴DH＝2，DG＝3，
∴Rt△DEG中，DE＝＝＝2，
故答案为2．

【点睛】本题主要考查了最短路线问题，以及勾股定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．4【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题．
【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，连接BF、FG、BG，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵BA⊥AG，
∴∠BAG＝90°，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴∠GAF＝∠ABD，
∴∠GAF＝∠BCE，
又∵AF＝CE，AG＝CB，
∴△AGF≌△CBE（SAS），
∴GF＝BE，
∵FB＝FC，
∴BE+CF＝GF+BF，
∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小，
∴GF+BF的最小值时线段BG的长，
∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4，
∴BG＝＝4
即BE+CF的最小值为4，
故答案为：4．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答．
19．【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，
∴，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，则四边形CKEN为矩形，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
20．【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题．
【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG，

∵AB＝AC，,
∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵BA⊥AG，
∴∠BAG＝90°，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴∠GAF＝∠ABD，
又∵AF＝BE，AG＝CB，

∴△AGF≌△CBE（SAS），
∴GF＝CE，
∵FB＝FC，
∴BF+CE＝BF+GF，
∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小，
∴GF+BF的最小值时线段BG的长，
∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6，
∴BG＝
即BF+CE的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【详解】为矩形，

又

点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为
【点睛】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
22．=【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
23．（1）米；（2）见解析，米【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接AB，

由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．

驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
24．探究：12；15；84；拓展：(1) =mx；=nx；(2)m+n= ；m+n有最大值15；m+n的最小值为12；(3) 11.2.【详解】试题分析：探究：根据勾股定理计算即可；
拓展：（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据△ABC的面积是84，列出关系式，求出（m+n）与x的函数关系式，结合图形求出（m+n）的最大值和最小值；
（3）根据当BD⊥AC时，m+n有最大值解答．
试题解析：探究：由勾股定理得，AH==12，
AC==15，
△ABC的面积S△ABC=×BC×AH=84.
故答案为12；15；84；
拓展：（1）=×BD×AE=mx，
=×BD×CH=nx；
（2）mx+nx=84，
m+n=，
当BD⊥AC时，m+n有最大值15，
当BD值最大时，m+n有最小值．
∴当点D与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n的最小值为=12；
（3）当BD⊥AC时，
x=BD==11.2，只能确定唯一的点D．
考点：三角形综合题．
25．(1)ABD，ACE，；
(2)BD的长为；
(3)＋4．
【分析】（1）根据SAS可证△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的长度；
（2）作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，求出BH，HC即BC的长度，再利用勾股定理即可求出CE的长度，由（1）知BD＝CE，据此得解；
（3）作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，此时BD＋AC'有最小值即为AF，此时△ABD周长＝AF＋AB最小，求出AF即可．
(1)
解：∵△ACD和△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝4，∠MBN＝30°，
∴AC＝2，
∴BC＝，
∴BD＝CE＝，
故答案为：ABD，ACE，；
(2)
解：如下图，作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，

∵AB＝4，∠MAN＝30°，
∴AH＝2，BH＝，
∵AC＝，
∴HC＝ ，
∴BC＝BH＋HC＝＋＝，
∴CE＝，
由（1）可知BD＝CE，
∴此时BD的长为；
(3)
解：如图，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，

∵EC'＝FC'＝BD，
∴此时BD＋AC'有最小值即为AF，
∴此时△ABD周长＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，
作AG⊥BE于G，
∴AG∥BN，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝2，AG＝，
∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，
由勾股定理得AF＝，
∴此时△ABD周长为：＋4．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）①30°；②2【分析】（1）根据等边三角形的性质求解即可；
（2）①方法一：连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，易知 △AGQ和△DEP均为等边三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，证明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取DG=AE，当时，PM取得最小值，得到PM = 2，PB = 2，过点G作GH⊥BP于点H，利用直角三角形的性质求解即可；
【详解】解：（1）在等边△ABC中，∵AB=AC，∠A= ∠ABC=∠C = 60°，
∵∠EDF = 60°，∴∠ADE+∠BDF= ∠ADE+∠AED= 120°，
∴∠AED = ∠BDF；
（2）①方法一：如答题图1，连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，
易知 △AGQ和△DEP均为等边三角形，
∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，
∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，
∴∠AED = ∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，
∴可证：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），
∴AD=GP=QE，
∵CE = 2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，
∴∠DBP＝∠BPG＝30°；
方法二：如答题图2，在DB上取DG=AE，
∵∠AED = ∠BDF
又∵DP = DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），
∴PG = AD，∠PGD＝60°，
∵CE =AC-AE =AB-DG =AD+BG=2AD，
∴BG =AD =PG，
∴∠DBP＝∠BPG＝30°；

②如答图3，在DB上取DG=AE，
由①可知∠MBP＝30°， AD =BG =PG；
当时，PM取得最小值；
在Rt△BMP中，∠MBP＝30°，BM =4，
∴PM = 2，PB = 2；
过点G作GH⊥BP于点H，∵BG =PG， ∴BH =；
在Rt△BGH中，∠GBP＝30°，BH =
∴BG =2，∴AD = BG = 2.


【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的综合应用，准确计算是解题的关键．
27． （1）13；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【详解】（1）AG＝3＋2＝5，GD＝12
AD＝
∴的最小值是13，
故答案为13；
（2）如（1）图，

AC＝4，DF＝2，CF＝10
AG＝4＋2＝6，GD＝10
AD＝
∴的最小值是
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝3，BC＝4，如图所示：

设CD＝x，则AD＝，BD＝
∴AB＝
∵
∴∠ACB＝90°
∴
∴
另外，也满足方程．
∴方程的解是．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．