初中数学第一章 勾股定理综合与测试习题

这是一份初中数学第一章 勾股定理综合与测试习题，共28页。

专题1.6《勾股定理》综合挑战题分类专题
（专项练习）
【类型一】勾股定理★✭三角形全等➼➻线段
1．（2020·浙江温州·中考真题）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．



2．（2017·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，于，，，，分别是，的中点．
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长．


【类型二】勾股定理★✭三角形全等➼➻周长★✭面积
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，求的面积．



4．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．


【类型三】勾股定理➼➻勾股数★✭格点
5．（2019·河北·中考真题）已知：整式，整式．
尝试: 化简整式．
发现: ，求整式．
联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值：
直角三角形三边



勾股数组Ⅰ
/
8

勾股数组Ⅱ

/


6．（2019·浙江·中考真题）如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可．


【类型四】勾股定理★✭三角形全等➼➻证明勾股定理
7．（2019·四川巴中·中考真题）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．



8．（2022·湖南长沙·一模）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题：
(1) 请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　　；
(2) 请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理．




【类型五】勾股定理★✭三角形全等➼➻折叠★✭旋转
9．（2018·山东威海·中考真题）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．




10．（2019·浙江绍兴·中考真题）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂长可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，.
（1）在旋转过程中：
①当三点在同一直线上时，求的长；
②当三点在同一直角三角形的顶点时，求的长.
（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长.


【类型六】勾股定理➼➻最值
11．（2020·浙江·模拟预测）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．




12．（2021·江西·赣州市赣县区教育教学研究室一模）在边长为8的等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE = 2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．
（1）如图1，求证：∠AED = ∠BDF；
（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP，
①求∠DBP的度数；
②取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.


【类型七】勾股定理➼➻应用
13．（2015·湖南湘西·中考真题）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．
（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？
（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．



14．（2021·山东淄博·一模）如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长．
（1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米?
（2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．


【类型八】勾股定理➼➻拓展探究➼➻几何模型★✭建模思想
15．（2021·山东泰安·一模）阅读理解题：
【几何模型】
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题；在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A'P+PB＝A'B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．

【模型应用】
如图2所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．
【拓展延伸】
如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足　 （唯一选项正确）

A．∠APC＝∠EPD               B．PA＝PE
C．∠APE＝90°                    D．∠APC＝∠DEP



16．（2019·江西赣州·模拟预测）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12－x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB＋DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．

小结：本题利用代数式的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．回答下面问题：
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：求代数式的最小值；
（3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答）

【类型九】勾股定理➼➻拓展探究➼➻问题背景★✭新定义
17．（2017·浙江衢州·中考真题）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．




18．（2019·江苏扬州·中考模拟）定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图，垂足分别为点，若，则点为的准内心.
应用：如图，为等边三角形的高，准内心在高上，且，求的度数.
探究：如图，已知为直角三角形，斜边，准内心在边上（不与点重合），求的长.



【类型十】勾股定理➼➻拓展探究➼➻动点
19．（2020·辽宁本溪·一模）如图在中，，，直线，点是直线上的一个动点，连接，将绕逆时针旋转90°得到，连接交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和线段的数量关系是______；
（2）如图2，当点在点的右侧时，（1）问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；
（3）连接，若，请直接写出面积大小．




20．（2019·黑龙江·三模）在中， 是直线上的一点，连接过点作交直线于点．
当点在线段上时，如图①，求证：；

当点在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

























参考答案
1． （1）见分析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中

∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中

【点拨】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
2． （1）证明见分析；（2）EF=5 ．
解：（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，在△BDG和△ADC中，，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2） ∵AC=10，
∴DE=DF=5，由勾股定理得，EF= =5．
考点：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．
3．(1)证明见分析(2)
【分析】（1）根据，可以得到，即可用SAS证明得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，可以得到，设，则，因为在中，，而在中，，即可列出方程求出三角形的面积．
（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．
4． （1）证明见分析；（2）周长为，面积为22．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
5． 尝试：；发现：；联想：17，37.
【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
解：A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
6． 见分析.
【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可.
解：如图所示：

【点拨】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键．
7．①证明见分析；②见分析.【分析】①通过AAS证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
②利用等面积法证得勾股定理．
①证明：∵，
∴．
∵，
∴．
在△AEC与△BCD中，

∴．
∴；
②解：由①知：

∴
．
又∵

．
∴．
整理，得．
【点拨】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．
8．(1)a2+b2＝c2；(2)见分析
【分析】（1）用符合语音叙述勾股定理即可；
（2）根据四个全等直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积列出等量关系即可证明．
(1)解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
(2)证明：∵大正方形的面积为c2，小正方形的面积为（b-a）2=b2-2ab+a2，4个直角三角形的面积为4×ab=2ab，
∴2ab+ b2-2ab+a2=c2，即a2+b2＝c2．
【点拨】本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，利用“分割法”求解几何图形的面积是解答的关键．
9． BC的长为3++．
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
解：∵∠1=67.5°，∠2=75°，
∴∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，
由折叠可知，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，

设KM=x，则EM=x，KF=2x，
，，
∴x+x=+1，
解得：x=1，
∴EK=，KF=2，
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，
∴BC的长为3++．
【点拨】本题主要考查翻折变换和勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10． （1）①，或；②或；（2）.
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．
解：（1）①，或.
②显然不能为直角，
当为直角时，
，∴.
当为直角时，
，∴.
（2）连结，

由题意得，，
∴，，
又∵，∴，
∴.
∵，
∴，
即.
又∵，，∴，
∴.
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．（1）△ABC是直角三角形，理由见分析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见分析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
12． （1）见分析；（2）①30°；②2
【分析】（1）根据等边三角形的性质求解即可；
（2）①方法一：连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，易知 △AGQ和△DEP均为等边三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，证明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取DG=AE，当时，PM取得最小值，得到PM = 2，PB = 2，过点G作GH⊥BP于点H，利用直角三角形的性质求解即可；
解：（1）在等边△ABC中，∵AB=AC，∠A= ∠ABC=∠C = 60°，
∵∠EDF = 60°，∴∠ADE+∠BDF= ∠ADE+∠AED= 120°，
∴∠AED = ∠BDF；
（2）①方法一：如答题图1，连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，
易知 △AGQ和△DEP均为等边三角形，
∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，
∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，
∴∠AED = ∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，
∴可证：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），
∴AD=GP=QE，
∵CE = 2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，
∴∠DBP＝∠BPG＝30°；
方法二：如答题图2，在DB上取DG=AE，
∵∠AED = ∠BDF
又∵DP = DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），
∴PG = AD，∠PGD＝60°，
∵CE =AC-AE =AB-DG =AD+BG=2AD，
∴BG =AD =PG，
∴∠DBP＝∠BPG＝30°；

②如答图3，在DB上取DG=AE，
由①可知∠MBP＝30°， AD =BG =PG；
当时，PM取得最小值；
在Rt△BMP中，∠MBP＝30°，BM =4，
∴PM = 2，PB = 2；
过点G作GH⊥BP于点H，∵BG =PG， ∴BH =；
在Rt△BGH中，∠GBP＝30°，BH =
∴BG =2，∴AD = BG = 2.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的综合应用，准确计算是解题的关键．
13． （1）A市不会受到此台风的影响，理由见分析；（2）B市会受到此台风的影响，影响时间约为1.5小时．
【分析】（1）过点A作AH⊥OC于点H，可求得AH的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响；
（2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
解：（1）作AH⊥OC，
∵由题意得：∠COA=45°，OA=60km，
∴AH=HO=60÷=60km，
∵60＞50，
∴A市不会受到此台风的影响；

（2）作BG⊥OC于G，
∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，
∴BG=OB=40km，
∵40＜50，
∴会受到影响，
如图：BE=BF=50km，
∴EG==30km，
∴EF=2EG=60km，
∵风速为40km/h，
∴60÷40=1.5小时，
∴影响时间约为1.5小时．
14． （1）梯子的底端向外滑动米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是米．
【分析】（1）已知AB、BC，在直角中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可；
（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可．
解：（1）在中，，，
.
设梯子的底端向外滑动米，由题意得，
，
解得，（舍去）
即梯子的底端向外滑动米.
（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，
，
解得，（舍去），
，即梯子的底端向外滑动的距离是米．
【点拨】本题主要考查勾股定理在实际中生活中的应用，本题中根据梯子长度不会变的等量关系求解是解题关键．
15．【模型应用】点P即为所求的水厂位置，见分析；最省的铺设水管的费用1000元；【拓展延伸】A．【模型应用】根据轴对称的性质确定水厂位置，作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，根据矩形的性质分别求出DE、A′E，根据勾股定理求出A′B，得到PA+PB，结合题意计算即可；
【拓展延伸】延长ED至E′，连接AE′交BC于点P，则点P即为所求，根据轴对称的性质、对顶角相等解答．
解：模型应用：作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置，作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，则四边形CA′ED为矩形，
∴DE＝A′C＝AC＝1，A′E＝CD＝3，
∴BE＝BD+DE＝4，
由勾股定理得，A′B＝＝＝5，
则PA+PB＝A′B＝5，
∴最省的铺设水管的费用W＝200×5＝1000（元）；

拓展延伸：延长ED至E′，连接AE′交BC于点P，则点P即为所求，连接EP，

∵点E与点E′关于BC对称，
∴∠E′PD=∠EPD，
∵∠E′PD=∠APC，
∴∠APC=∠EPD，A正确；
∵唯一选项正确，∴其余选项均错误；
故选：A．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路径问题、勾股定理的应用、矩形的判定与性质，掌握轴对称的概念和性质、两点之间线段最短的性质是解题的关键．
16． （1）13；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
解：（1）AG＝3＋2＝5，GD＝12
AD＝
∴的最小值是13，
故答案为13；
（2）如（1）图，

AC＝4，DF＝2，CF＝10
AG＝4＋2＝6，GD＝10
AD＝
∴的最小值是
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝3，BC＝4，如图所示：

设CD＝x，则AD＝，BD＝
∴AB＝
∵
∴∠ACB＝90°
∴
∴
另外，也满足方程．
∴方程的解是．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．
17． (1)见分析；（2）△DEF是正三角形；理由见分析；（3）c2=a2+ab+b2
解：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：

∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.
18． （1）90°   （2）
【分析】（1）①点P为∠CAD的角平分线与CD的交点，根据等边三角形的性质得到∠PAD=∠PAC=30°，解直角三角形得到AD=DP，AD=BD，与已知PD=AB矛盾，点P不可能为∠CAD的角平分线与CD的交点，同理可知②点P不可能为∠CBD的角平分线与CD的交点，
③根据等边三角形的性质得到点P到AC和BC的距离相等，根据已知条件得到PD=AD=BD，求得∠APD=∠BPD=45°，于是得到∠APB=90°；
（2）根据勾股定理得到AC==4，推出点P为∠CBA的平分线与AC的交点，作PD⊥BC与点D，根据勾股定理即可得到结论．
解： 点在高上.
点为的平分线与的交点
是等边三角形

为等边三角形的高，

与已知矛盾，
点不可能为的平分线与的交点.

同理可得点不可能为的平分线与的交点，
为等边三角形的高，
点为的平分线
此时若点到和距离相等，
由，得，

故；


准内心在边上（不与点重合）
点为的平分线与的交点
作于点

设，则
，即.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.
19． （1）；（2）成立，理由见分析；（3）6或12
【分析】（1）根据题意得：等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BEF全等，易证；
（2）过点作交于点，连接HF，易证，从而可证，记得求解本题；
（3）过点C向BF作垂线交于点P，过点B向AC作垂线交于点Q，结合勾股定理算得的BE和BF的长度，即可求得BQ的长度和BG的长度，从而算出QG和CG，由（2）知，故求的面积就是求的面积，即可求解本题（注意分情况考虑）．
解：（1）当点与点重合时，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形BEF全等，
易得BF⊥AC且平分AC；
故；
（2）成立，
理由：过点作交于点，连接HF，
∴
∵，
∴
∵
∴，

∵
∴
∴
∵绕逆时针旋转90°得到
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（3）当E在A右侧时，
如图：过点C向BF作垂线交于点P，过点B向AC作垂线交于点Q，

∵为等腰直角三角形，且BQ⊥AC，
∴G为AC的中点，
由勾股定理计算得：
，
，
，
∵Q为AC的中点，BG=GF，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵BG=GF且和同高，
∴；
同理可求当E在A左侧时，；
故的面积为6或12．
【点拨】本题是全等三角形以及勾股定理的结合考查，解题的难度比较大，解题的关键是做出合适的辅助线．
20．（1）证明见分析；（2）图②；图③．【分析】（1）在上截取，连接AE，可先证得，得到，进而可证得△AED为等腰直角三角形，即可得证；
（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的与之间的数量关系．
证明：（1）如图在上截取，连接AE，





又
在△ABE与△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS），


在中，


（2）如图，在CD上截取CE＝BD，连接AE，

由（1）可知△ADB≌△AEC，


在中，


∴图．
如图，延长DC至点E，使得CE＝BD，连接AE，




在△ADB与△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS），


在中，


∴图．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．