2022秋新教材高中数学章末综合检测三圆锥曲线的方程新人教A版选择性必修第一册

章末综合检测（三）  圆锥曲线的方程

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a(a>0)，当a＝3和5时，点P的轨迹为(　　)

A．双曲线和一条直线

B．双曲线和两条射线

C．双曲线的一支和一条直线

D．双曲线的一支和一条射线

解析：选D　当2a<|AB|时，表示双曲线的一支；当2a＝|AB|时，表示一条射线．

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1　　　　　　　　 B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选B　∵椭圆的长轴长为6，焦点恰好三等分长轴，∴2a＝6，a＝3，∴6c＝6，c＝1，b2＝a2－1＝8，∴椭圆方程为＋＝1，故选B.

3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)

A．(2，±2 )  B．(1，±2)

C．(1,2)  D．(2,2)

解析：选B　设A(x，y)，则y2＝4x，①

又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，

所以·＝x－x2－y2＝－4.②

由①②可解得x＝1，y＝±2.

4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为(　　)

A.   B.

C．3  D.

解析：选A　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，所以＝2，即＝4＝＝e2－1，所以e＝. 故选A.

5．方程为mx2＋ny＝0和mx2＋ny2＝1(mn≠0)的两条曲线在同一坐标系中可以是(　　)

解析：选B　因为方程mx2＋ny＝0可化为x2＝－y；若mn>0，则方程x2＝－y表示开口向下的抛物线，mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示椭圆；若mn<0，则方程x2＝－y表示开口向上的抛物线，mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示双曲线．由题意，只有B能符合要求．故选B.

6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则椭圆＋＝1的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　由双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，得＝，即4b2＝a2，所以椭圆＋＝1的离心率为 ＝＝.

7．若双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是(　　)

A．2  B．1

C.   D.

解析：选A　双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于＝b，因为双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，所以b＝·2c，所以b＝c＝.所以b＝1，所以该双曲线的虚轴长是2.

8.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝(　　)

A．90°  B．60°

C．45°  D．30°

解析：选A　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．

由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，

则＝(－c，－b)，＝(a，－b)．

∵离心率e＝＝，

∴c＝a，b＝

＝ ＝ a，

∴·＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是(　　)

A．设A，B为两个定点，k为非零常数，||＋||＝k，则动点P的轨迹为双曲线

B．曲线＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则<t<4

C．方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

D．双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点

解析：选BCD　A中，当k>|AB|时，表示椭圆；当k＝|AB|时，表示线段；当k<|AB|时不存在，故A错误；

B中，曲线＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

则∴<t<4，故B正确；

C中，方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别为2和，可以作为椭圆和双曲线的离心率，故C正确；

D中，双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1的焦点均为(±，0)，故D正确．故选B、C、D.

10．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C．点P的横坐标为±1

D．△PF1F2的面积为

解析：选ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选A、C、D.

11．已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)

A．点F的坐标为

B．若直线MN过点F，则x1x2＝－

C．若＝λ，则|MN|的最小值为

D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为

解析：选BCD　易知点F的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，选项B正确；若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2＝y的焦点为，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确．

12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4cx(c2＝a2－b2，c＞0)与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2＝，则椭圆C的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选CD　如图，作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为E，由抛物线的定义知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x轴，则∠EPF1＝∠PF1F2，所以cos∠EPF1＝cos∠PF1F2＝＝＝.设|PF1|＝5t(t＞0)，则|PF2|＝4t，由椭圆定义可知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2，整理得|F1F2|2－8t|F1F2|＋9t2＝0，解得|F1F2|＝(4＋)t或|F1F2|＝(4－)t.

当|F1F2|＝(4＋)t时，离心率e＝＝；

当|F1F2|＝(4－)t时，离心率为e＝＝.

综上所述，椭圆C的离心率为或.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(3, 2)的双曲线方程为______．

解析：设与双曲线－＝1有共同的渐近线的双曲线为－＝m，m≠0，且m≠1，则由题意可得，3－1＝m，则m＝2，故双曲线方程为－＝1.

答案：－＝1

14．直线y＝－2x－3与曲线－＝1的公共点的个数为_______．

解析：当x≥0时，曲线－＝1为焦点在y轴上的双曲线；当x＜0时，曲线＋＝1为焦点在y轴上的椭圆，∴曲线－＝1的图象如图所示，在同一坐标系中作出直线y＝－2x－3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．

答案：2

15．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的方程为________．

解析：因为双曲线－＝1的离心率为2，所以＝2，又双曲线焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，所以c＝4，所以a＝2，b＝2，故双曲线的方程为－＝1.

答案：－＝1

16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是________．

解析：由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故|AB|＝2p，∴△CAB的面积S＝×|AB|×d＝×2p×＝24，整理得p2＋8p－48＝0，

解得p＝4或p＝－12(舍去)，

∴抛物线方程是y2＝8x，

直线AB的方程是x＝2，

∴以直线AB为准线的抛物线标准方程是y2＝－8x.

答案：y2＝－8x

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

(1)短轴长等于2，离心率等于的椭圆；

(2)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(4,5)的双曲线．

解： (1)由题意可知，b＝，＝，

又a2＝b2＋c2，可得a＝2.

若焦点在x轴上，椭圆的标准方程为＋＝1；

若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，可设双曲线方程为－＝1，将点(4,5)代入可得－＝1，

整理可得，m2－50m＋225＝0，解得m＝5或m＝45(不合题意)，所以双曲线的标准方程为－＝1.

18．(12分) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．

(1)求此椭圆的标准方程；

(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值．

解：(1)由题意知＝且c＝1，

∴a＝，b＝＝1.

故椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知，椭圆方程为＋y2＝1, ①

又直线过点F(1,0)，且倾斜角为，斜率k＝1.

∴直线的方程为y＝x－1.②

由①②联立，得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝.

故|AB|＝|x1－x2|＝＝.

19．(12分)已知双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

解： (1)由已知椭圆＋＝1，

得双曲线C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，即c＝2，

由等轴双曲线的性质a＝b及c2＝a2＋b2，得a＝，

故所求双曲线C的方程为－＝1.

(2)当AB所在直线斜率不存在时，中点不可能为P(1,2)，故此时不满足题意；

由对称性可知，当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx＋m，

联立方程组消去y,

得(1－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，

则x1＋x2＝＝2.①

又点P(1,2)在AB所在的直线y＝kx＋m上，

即2＝k＋m.②

联立①②两式，解得k＝，m＝，

经检验，直线方程x－2y＋3＝0即为所求．

20．(12分)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点．

(1)求C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝13，求k的值．

解：(1)因为M(p，p－1)是抛物线C上的点，

所以p2＝2p(p－1)，

因为p＞0，所以p＝2，因此抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得x2－4kx－8＝0，Δ＝16k2＋32＞0，

则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，

由抛物线的定义知，

|AF|＝y1＋1＝kx1＋3，|BF|＝y2＋1＝kx2＋3，

则|AF|·|BF|＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9＝13，

解得k＝±1.

21．(12分)已知F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知P(x0，－1)为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足kPM·kPN＝－2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

解：(1)由已知F，直线AB的方程为y＝x－，

联立消去y可得，x2－3px＋＝0，

所以xA＋xB＝3p，

因为|AB|＝xA＋xB＋p＝4p＝8，所以2p＝4，

故抛物线的方程为y2＝4x.

(2)将P(x0，－1)代入y2＝4x可得P，

不妨设直线MN的方程为x＝my＋t(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立消去x，得y2－4my－4t＝0，

则Δ＝16m2＋16t，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，

由题意kPM·kPN＝·＝·＝＝－2，化简可得，t＝－m，

代入Δ＝16m2＋16t＝16

＝162＋32>0，

此时直线MN的方程为x＝m(y－1)＋，

所以直线MN过定点.

22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．

解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，

∴椭圆C的半焦距c＝1，

又椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2，则b＝＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m，

联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

由Δ＞0，可得m2＜4k2＋3.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，∴P，

∴kOP＝＝－.

∴kMN·kOP＝－.