人教B版高考数学一轮总复习第2章第1节函数及其表示学案

第1节　函数及其表示

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的概念

一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x称为自变量，y称为因变量，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域；所有函数值的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．

(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有代数法(或解析法)、列表法和图像法．

4．分段函数

(1)如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

(1)直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像有0个或1个交点．

(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

(3)判断两个函数是否为同一个函数的依据，是两个函数的定义域和对应关系完全一致．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( × )

(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )

(3)f(x)＝＋是一个函数．( × )

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )

(5)函数y＝f(x)的图像可以是一条封闭的曲线．( × )

2．(2021·烟台模拟)函数f(x)＝ln＋x的定义域为(　　)

A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)

B　解析：要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．

3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)

B　解析：A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图像不表示函数，D中函数的值域不是[0,2]．

4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝________.

10　解析：因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.

5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．

(－∞，2]　解析：因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2].

考点1　函数的定义域——基础性

1．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．

(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

2．函数f(x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________．

(－4,1]　解析：要使函数f(x)有意义，需满足解得－4<x≤1，

即函数f(x)的定义域为(－4,1]．

3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．

[0,1)　解析：因为y＝f(x)的定义域为[0,2]，

所以，要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.

所以g(x)的定义域是[0,1)．

4．已知函数f(x－1)的定义域为[0,2 022]，则函数g(x)＝的定义域为________．

[－2,1)∪(1,2 020]　解析：由函数f(x－1)的定义域为[0，2 022]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1，2 021]．

令得－2≤x≤2 020且x≠1.

所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 020]．

1．常见函数定义域的类型

(1)分式型要满足f(x)≠0；

(2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0；

(3)f(x)0要满足f(x)≠0；

(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；

(5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.

2．求抽象函数定义域的方法

考点2　求函数的解析式——综合性

(1)已知f ＝lg x，求f(x)的解析式．

(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．

(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

解：(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝.

代入得f(t)＝lg.又x>0，所以t>1.

故f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．

(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝.

所以f(x)＝x2＋x，x∈R.

(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2－x.②

①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，即f(x)＝.

故f(x)＝，x∈R.

求函数解析式的三种方法

1．已知f ＝＋，则f(x)＝(　　)

A．(x＋1)2 B．(x－1)2

C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1

C　解析：f ＝＋＝2－＋1.令＝t，得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1.

2．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为________．

f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1　解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.

所以

解得或

故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.

3．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.

2x－(x≠0)　解析：2f(x)＋f＝3x，①

把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②

联立①②可得

解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．

考点3　分段函数——应用性

考向1　分段函数求值

(1)设f(x)＝则f(f(1))的值为(　　)

A．2 B．3 

C．4 D．5

B　解析：因为f(x)＝ 所以f(1)＝22－1＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝log28＝3. 故选B.

(2)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.

　解析：当a>0时，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0与a＝－舍去)；当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝.

求分段函数的函数值的步骤

(1)确定要求值的自变量所在区间．

(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．

[提醒]①自变量的值不确定时，必须分类讨论；

②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；

③出现f(f(a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．

考向2　分段函数与方程、不等式

(1)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是

(　　)

A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)

C．(－1,0) D．(－∞，0)

D　解析：函数f(x)的图像如图所示．

结合图像知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或所以x＜0.故选D.

(2)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.

－3　解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．

求参数或自变量的值(范围)的解题思路

(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．

(2)如果分段函数的图像易得，也可以画出函数图像后结合图像求解．

1．(2020·天津南开中学高三月考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．

　解析：由f(x＋4)＝f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝＝.因此f(f(15))＝f ＝cos＝.

2．已知函数f(x)＝若f(a)－f(－a)>0，则实数a的取值范围为________．

(－∞，－2)∪(2，＋∞)　解析：当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2. 综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

3．若函数y＝f(x)的图像上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有________对．

2　解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图像的交点个数．由图像知，函数f(x)有2对“和谐点对”．