人教B版高考数学一轮总复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性学案

第3节　函数的奇偶性与周期性

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的奇偶性的定义

1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

2．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数．

(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．

3．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)．

周期函数定义的实质

存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

3．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x，

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

4．函数图像的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图像关于点(b,0)中心对称．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称．( √ )

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( × )

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．( √ )

2．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)

A．y＝－ B．y＝log2|x|

C．y＝1－x2 D．y＝x3－1

C　解析：函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上单调递增．选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．

3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f 等于(　　)

A．   B． 

C． D．1

B　解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f ＝f ＝2＝.

4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A．－   B． 

C． D．－

B　解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝. 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.

5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝________.

1　解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝f(x)，得T＝4，f(9)＝f(1)＝1.

考点1　函数奇偶性的判断——基础性)

1．(多选题)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．|f(x)|是偶函数 

B．－f(x)是奇函数

C．f(x)|f(x)|是奇函数 

D．f(|x|)f(x)是偶函数

ABC　解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)·f(x)是奇函数．故选ABC.

2．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________．

奇函数　解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

判断函数奇偶性的常用方法

(1)定义法：根据奇、偶函数的定义来判断．

(2)图像法：利用奇、偶函数图像的对称性来判断．

(3)性质法：利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．

考点2　函数奇偶性的简单应用——基础性)

1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)

A．2   B．4 

C．－2   D．－4

C　解析：根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.

2．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1 

B．e－x＋1

C．－e－x－1 

D．－e－x＋1

D　解析：当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以 f(－x)＝e－x－1. 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.

3．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

1　解析：令g(x)＝ln(x＋)，若f(x)＝x·g(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)＝ln＝0，所以a＝1.经验证，a＝1满足题意．

应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法

(1)求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式

先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

(3)求函数解析式中参数的值

利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式．由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

考点3　函数的周期性——综合性

(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________.

－1　解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4. 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数．若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 019)＋f(2 021)的值为________．

0　解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2 019)＝f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，f(2 021)＝f(1)＝log22＝1，所以f(－2 019)＋f(2 021)＝0.

1．若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x∈[2,4])的解析式是________．

f(x)＝x2－6x＋8　解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. 所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

2．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 019)＋f(2 021)＝________.

0　解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，所以f(－2 019)＝－1，f(2 021)＝1，

所以f(－2 019)＋f(2 021)＝0.

函数周期性有关问题的求解策略

(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．

(2)周期函数的图像具有周期性，如果发现一个函数的图像具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．

1．已知函数f(x)的图像关于原点对称，且周期为4，若f(－1)＝2，则f(2 021)＝(　　)

A．2   B．0 

C．－2   D．－4

C　解析：因为函数f(x)的图像关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C.

2．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：

①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1.

则f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝________.

－1　解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，

则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.

所以f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f

＝f ＋0＋f ＋f(0)＋f

＝f －f ＋f(0)＋f

＝f ＋f(0)

＝2－1＋20－1＝－1.

考点4　函数性质的综合应用——应用性

考向1　函数的奇偶性与单调性综合

已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．b<a<c   D．b<c<a

C　解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．

因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，

所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.

考向2　函数奇偶性与周期性的综合

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－3)   B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)

D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.

考向3　函数单调性、奇偶性与周期性的综合

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c   B．c>a>b

C．b>c>a   D．a>c>b

D　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b.故选D.

解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．

1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.

－　解析：由题意可知，f ＝f ＝－f ＝－2××＝－.

2．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．

(－3,2)　解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2.