人教B版高考数学一轮总复习第3章第1节导数的概念、几何意义及其运算学案

第1节　导数的概念、几何意义及其运算

一、教材概念·结论·性质重现

1．瞬时变化率与导数

(1)瞬时变化率

一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，→k或

 ＝k.

(2)导数

①f(x)在x0处的导数记作f′(x0)；

②f′(x0)＝ .

(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，且[f(x0)]′＝0.

(2)曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切时只有一个公共点．

(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．

(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．导数的几何意义

(1)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率．

(2)曲线的切线方程

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．导数公式

4．导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)′＝(g(x)≠0)．

5．复合函数的求导法则

一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( × )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )

(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × )

2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A．－9　　　 B．－3　　　

C．9　　　 D．15

C　解析：因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.

3．已知函数f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x0)＝2 021，则x0等于(　　)

A．e2   B．1 

C．ln 2   D．e

B　解析：f′(x)＝2 020＋ln x＋x×＝2 021＋ln x.

由f′(x0)＝2 021，得2 021＋ln x0＝2 021，则ln x0＝0，解得x0＝1.

4．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．

e　解析：由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e.

5．若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

(－ln 2,2)　解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x.

所以曲线在点P处的切线斜率k＝－e－x0＝－2.所以－x0＝ln 2.所以x0＝－ln 2.

所以y0＝e－(－ln 2)＝eln 2＝2.

所以点P的坐标为(－ln 2,2)．

考点1　导数的计算——基础性

1．(多选题)下列求导运算正确的是(　　)

A．(3x)′＝3xln 3

B．(x2ln x)′＝2xln x＋x

C．′＝

D．(sin x·cos x)′＝cos 2x

ABD　解析：因为′＝，所以C项错误．其余都正确．

2．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.

1　解析：f′(x)＝，则f′(1)＝＝，解得a＝1.

3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′·sin x＋cos x，则f′＝________.

－　解析：因为f(x)＝f′sin x＋cos x，所以f′(x)＝f′cos x－sin x.

所以f′＝f′cos －sin ，即f′＝－1.

所以f(x)＝－sin x＋cos x，

f′(x)＝－cos x－sin x.

故f′＝－cos －sin ＝－.

导数的运算方法

(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．

(3)指数或对数形式：先化为和或差的形式，再求导．

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

考点2　导数的几何意义——综合性

考向1　求切线方程

(1)(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1　　　　 B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3   D．y＝2x＋1

B　解析：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f(1)＝－1.所以f′(1)＝－2.

因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，

即y＝－2x＋1.

(2)已知函数f(x)＝xln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________________．

x－y－1＝0　解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，设切点坐标为(x0，y0)．

因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.

由

解得

所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

若本例(2)中曲线y＝f(x)与x轴的交点为P，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程．

解：由f(x)＝0得xln x＝0，即x＝1，所以点P的坐标为(1,0)．

又y′＝ln x＋1，所以曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.

故切线方程为y＝x－1.

求曲线的切线方程的两种类型及方法

(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：

首先检验点P是否在曲线上．若在曲线上，则要分在点P和过点P两种情况．若点P不在曲线上，则要设切点，即“待定切点法”．

①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；

②由点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．

考向2　求切点坐标

设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．

(1,1)　解析：因为函数y＝ex的导函数为y′＝ex，

所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.

设P(x0，y0)(x0>0)，

因为函数y＝的导函数为y′＝－，

所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－.

由题意知k1k2＝－1，即1×＝－1，

解得x＝1.又x0>0，所以x0＝1.

因为点P在曲线y＝(x>0)上，

所以y0＝1.故点P的坐标为(1,1)．

求切点坐标的思路

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标．将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．

考向3　求参数的值或取值范围

(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1 

B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1 

D．a＝e－1，b＝－1

D　解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，

所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2.

所以a＝e－1.所以切点坐标为(1,1)．

将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.故选D.

利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．

[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围．

(2)谨记切点既在切线上又在曲线y＝f(x)上．

考向4　导数与函数图像的关系

已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是(　　)

B　解析：由y＝f′(x)的图像是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图像的切线的斜率先增大后减小．故选B.

导数与函数图像的关系

函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况．由切线的斜率大小可以判断出函数图像升降的快慢．

1．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x   B．y＝－x

C．y＝2x   D．y＝x

D　解析：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1.所以f(x)＝x3＋x.所以f′(x)＝3x2＋1.所以f′(0)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

2．若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．

[2，＋∞)　解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋4x－a＝2有解，即＋4x－2＝a.所以a＝＋4x－2≥2－2＝2.当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立．

3．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，

则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．