人教B版高考数学一轮总复习第4章第7节正弦定理与余弦定理的应用学案

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第7节　正弦定理与余弦定理的应用一、教材概念·结论·性质重现1．实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i＝仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角2．方位角从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：0°～360°.东北方向是北偏东45°或东偏北45°的方向．3．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.解三角形应用问题的步骤二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　√　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　×　)(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是.(　×　)2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°D　解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)A．10 km B．10 km  C．10 km D．10 kmD　解析：由余弦定理得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.　解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝ km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.所以AB＝ km.所以A，B两点间的距离为 km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m　解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1　解三角形的实际应用——应用性考向1　测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1 km.因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝ km.在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋2××CD.即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km，BC＝BD＋CD＝(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5 km，而<＝＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD＝1 km，AC＝3 km”变为“BD＝200 m，CD＝300 m”，其他条件不变，求这条索道AC的长．解：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得＝，所以＝.所以AD＝＝200 (m)．在△ABC中，DC＝300 m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100 m.故这条索道AC长为100 m.2．若将本例条件“∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km”变为“∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，AD＝100 m，作CO⊥AB，垂足为O，延长AD交CO于点E，且CE＝50 m，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，所以∠ACD＝30°.由正弦定理可得AC＝＝100.在△ACE中，由正弦定理可得sin∠CEA＝＝－1，所以cos θ＝cos＝sin∠CEA＝－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．考向2　测量高度问题如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.22.6　解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ABD中，AB＝＝＝200.在Rt△ACD中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．15米 B．25米  C．35米 D．45米B　解析：如图所示：由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB.设OP＝x，则OA＝x，OB＝x，在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO，即(x)2＝502＋x2－2×50x×，所以x2＋25x－1 250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．2．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)A.   B.C.   D.D　解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，＝，即＝，则AD＝.在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝.故选D.考点2　正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC.解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD 中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD中，由余弦定理可得，cos C＝＝＝.因为C为三角形的内角，故C＝，所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，故四边形ABCD的面积S＝.(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以sin∠BDC＝＝.因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，所以cos∠BDC＝，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，故∠ADB＝，所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点．(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)A．7 km B．8 kmC．9 km D．6 kmA　解析：在△ACD中，由余弦定理得cos D＝＝.在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝.因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，即＋＝0，解得AC2＝49.所以AC＝7.2．(2021·八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.(1)若AB＝，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解：(1)在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ABD＝＝.∵CD∥AB，∴∠BDC＝∠ABD.在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝，所以BC＝.(2)设BC＝x，则AB＝2x.在△ABD中，cos∠ABD＝＝＝x；在△BCD中，cos∠BDC＝＝.由(1)可知，∠BDC＝∠ABD，所以，cos∠BDC＝cos∠ABD，即＝x，整理可得x2＋2x－2＝0.解得x＝－1，其中x>0.因此，cos∠BDC＝x＝－1.考点3　解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)sin－.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．解：(1)f(x)＝－sin xcos x－＝cos 2x－sin 2x＝－sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.(2)因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<，所以－<2A－<.又f(A)＝－sin＝－1，所以2A－＝，即A＝.因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．又a＝2，所以bc≤4，所以S△ABC＝bcsin A≤.即△ABC的面积的最大值为.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x－(x∈R)，设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求△ABC的周长．解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x－＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.因为f(C)＝sin－1＝0且C为三角形内角，所以C＝.(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，则sin B－2sin A＝0.由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得cos＝＝，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋.