人教B版高考数学一轮总复习第6章第3节平面向量的数量积及综合应用学案

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第3节　平面向量的数量积及综合应用一、教材概念·结论·性质重现1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤πθ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b2．平面向量的数量积定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉投影|a|cos θ叫做向量a在向量b方向上的投影的数量，|b|cos θ叫做向量b在向量a方向上的投影的数量几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．(2)平面向量数量积运算的常用公式．①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.4．平面向量数量积的性质及坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2.性质几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)2．若两个非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，则a，b的夹角是(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　A.   B.  C. D.πD　解析：因为|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9，得a·b＝－2.所以cos θ＝＝＝－1.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.12　解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.4．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影的数量为________．　解析：＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知，在方向上的投影的数量为＝＝.5．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·＝________.11　解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，所以·＝4×2＋1×3＝11.考点1　平面向量数量积的运算——基础性  　　　　　 　　　　　 　　　1．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则a在b上的投影的数量为(　　)A．－   B．  C．－   D．A　解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝－.2．(2020·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　)A．(4,6) B．(－4，－6)C．   D．B　解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝.由a·b＝14可得－5k＋k＝14，得k＝－4，所以a＝(－4，－6)．3．(2020·三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足＝，设AM与BD交于点G，则·＝(　　)A．1 B．2  C．3 D．4A　解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．因为＝，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以M.(方法一)显然△DGM∽△BGA，且相似比为1∶3.＝＝＝，＝(1,1)，·＝·(1,1)＝1.(方法二)直线BD的方程为y＝－x＋1，直线AM的方程为y＝3x.联立解得所以点G.所以·＝·(1,1)＝×1＋×1＝1.4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于________．12　解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2,4)，所以a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，所以(x－2)×(－2)＋20＝0，所以x＝12.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算．考点2　平面向量数量积的性质——应用性(2020·汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)A.   B.  C.   D.B　解析：因为a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，所以a·b＝.又|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝，且0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.1．将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|a＋b|＝|a|＝|b|≠0”，求a与b的夹角．解：由|a＋b|＝|a|＝|b|≠0，所以(a＋b)2＝a2＝b2，a2＋2a·b＋b2＝a2＝b2.设a与b的夹角为θ，则|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝|a|2，化简得1＋2cos θ＋1＝1，解得cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ＝.2．本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝|2a－b|＝1”，求|b|.解：因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，所以4－4|b|cos 30°＋b2＝1，整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0，解得|b|＝.1．求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|＝.(2)利用|a|＝.2．求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．3．两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(2021·八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0.若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　)A.   B.  C.   D.B　解析：因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.因为c＝a＋b，所以|c|＝|a＋b|＝＝＝3.所以cos〈a，c〉＝＝＝＝＝.所以sin〈a，c〉＝＝.考点3　平面向量数量积的应用——综合性考向1　平面向量与三角函数已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．(1)若||＝||，求角α 的值；(2)若·＝－1，求的值．解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，所以＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)．所以||＝，||＝.因为||＝||，所以＝，即(cos α－3)2＋(sin α)2＝(cos α)2＋(sin α－3)2，所以sin α＝cos α，所以tan α＝1，所以α＝kπ＋，k∈Z.(2)由(1)知，＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，所以·＝(cos α－3)cos α＋sin α·(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1.所以sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，所以2sin αcos α＝－.所以＝＝2sin αcos α＝－.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．考向2　平面向量的最值问题(2020·武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)A．－1　　　　　　　 B．＋1C．2 D．2－A　解析：设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1.如图所示，a＝，b＝B为圆C上动点，.所以|a－b|min＝|CD|－1＝－1(其中CD⊥OA)．平面向量的最值一般有两种处理方法(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决．(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．1. (2020·西城区二模)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为(　　)A.　　　 B.　　　C.1　　　 D.B　解析：|a＋xb|2＝a2＋2xa·b＋x2b2＝x2＋x＋1＝2＋，所以当x＝－时，|a＋xb|取得最小值.2．已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．解：(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x.因为a＋b＝，所以|a＋b|＝＝＝2|cos x|.因为x∈，所以cos x>0，所以|a＋b|＝2cos x.(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝22－.因为x∈，所以≤cos x≤1，所以当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.[四字程度]读想算思求·1.数量积的计算方法；2．用哪个公式好？用恰当的基底或坐标表示两向量转化与化归AD∥BC，∠A＝30°，AE＝BE1.基向量法1；2．基向量法2；3．基向量法3；4．坐标法1；5．坐标法21.几何法计算线段与夹角；2．用基底或坐标表示与；3．计算数量积1.向量的线性运算法则；2．数量积计算公式思路参考：探究△AEB中的边角大小．－1　解析：如图，因为AD∥BC，且∠DAB＝30°，所以∠ABE＝30°.又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°.所以∠E＝120°.所以在△AEB中，AE＝BE＝2.所以·＝(＋)·(＋)＝－2＋·＋·＋·＝－12＋2×2×cos 30°＋5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°＝－12＋6＋15－10＝－1.思路参考：用，作基向量表示·.－1　解析：如图，因为AE＝BE，AD∥BC，∠BAD＝30°，所以在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°.又AB＝2，所以AE＝BE＝2，所以＝－.因为＝＋，所以＝－.又＝＋＝－＋，所以·＝(－＋)·＝－2＋·－2＝－2＋||·||cos 30°－2＝－12＋×2×5×－×25＝－1.思路参考：构造菱形AEBF.－1　解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.因为AD∥BC，所以四边形AEBF为平行四边形，因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．因为∠BAD＝30°，AB＝2，所以AF＝2，即＝.因为＝＝－＝－，所以·＝(－)·＝·－2－2＝×2×5×－12－10＝－1. 思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程．－1　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D.因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y＝(x－2)，直线AE的斜率为－，其方程为y＝－x.由得x＝，y＝－1，所以E(，－1)．所以·＝·(，－1)＝－1.思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标．－1　解析：过点B作BF垂直于AD于点F.因为AB＝2，∠BAD＝30°，则BF＝，AF＝3.又因为AD∥BC，AE＝BE，则∠EBA＝∠BAD＝∠EAB＝30°，则BE＝2.以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－3,0)，B(0，)，D(2,0)，E(－2，)．所以＝(2，－)，＝(1，)，则·＝2－3＝－1.1．本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解．2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．3．本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.2　解析：(方法一)|a＋2b|＝＝＝＝＝2.(方法二)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2.